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已知 $a,b,c\in {\mathbb{R}}^{+},M>1,abc=M$, 且 $max(a,b,c)\le M$, 求 $N=a+b+c-{\displaystyle \frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}}$ 的最小值.

由条件得 $M=abc\ge Mbc\Rightarrow bc\le 1$. 此外 $M=abc\le M^3\Rightarrow M\ge 1$. 进而$$\begin{array}{rl}N=& a-\frac{1}{a}+(b+c)(1-\frac{1}{bc})\ge a-\frac{1}{a}+2\sqrt{bc}(1-\frac{1}{bc})=a-\frac{1}{a}+2\sqrt{\frac{M}{a}}(1-\frac{a}{M})\end{array}$$记$f(x)=x^2-{\displaystyle \frac{1}{x^2}+2(\frac{\sqrt{M}}{x}-\frac{x}{\sqrt{M}}),0\le x\le \sqrt{M}}$, 则$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{(x^3-\sqrt{M})(x\sqrt{M}-1)}{x^3\sqrt{M}}}$, 则$f(x)$在${\displaystyle (0,\frac{1}{\sqrt{M}})}$, $(\sqrt[6]{M},\sqrt{M})$上增，在${\displaystyle (\frac{1}{\sqrt{M}},\sqrt[6]{M})}$上减，因此 $$\begin{array}{r}N=f(x^2)\ge f(\sqrt[6]{M})=3(\sqrt[3]{M}-\frac{1}{\sqrt[3]{M}}),\end{array}$$
取等条件为 $a=b=c=\sqrt[3]{M}$.