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已知正四棱锥 $S-ABCD$ 底面边长为 $2$, 高为 $1$, 动点 $P$ 在平面 $ABCD$ 内，且满足 ${\overrightarrow{PA}}^2+{\overrightarrow{PB}}^2+{\overrightarrow{PC}}^2+{\overrightarrow{PD}}^2=12$, 求直线 $AP$ 与 $SC$ 所成角的余弦值的取值范围.

以底面中心 $O$ 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图. 则 $S(0,0,1),A(1,1,0),B(1,-1,0),C(-1,-1,0),D(-1,1,0)$, 设 $P(x,y,0)$, 则 $$\begin{array}{rl}& {\overrightarrow{PA}}^2+{\overrightarrow{PB}}^2+{\overrightarrow{PC}}^2+{\overrightarrow{PD}}^2=2[(x+1{)}^2+(x-1{)}^2]+2[(y+1{)}^2+(y-1{)}^2]=12\\ \Rightarrow & x^2+y^2=1.\end{array}$$ 记 ${\displaystyle t=\frac{3}{2}-(x+y)\in [\frac{1}{2},\frac{3}{2}-\sqrt{2}]}$，则 $$\begin{array}{rl}|\cos ⟨\overrightarrow{AP},\overrightarrow{SC}⟩|=& \frac{|(x-1,y-1,0)\cdot (-1,-1,-1)|}{\sqrt{3[(x-1{)}^2+(y-1{)}^2]}}=\frac{2-(x+y)}{\sqrt{3[3-2(x+y)]}}\\ =& \sqrt{\frac{1}{6}(\frac{1}{4t}+t+1)}\in [\frac{\sqrt{3}}{3,},\frac{\sqrt{6}}{3}].\end{array}$$