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已知函数 $f(x)={\displaystyle \frac{\sin (ax)}{x},x>0,a\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$.

1. 若 $f(x)$ 在 ${\displaystyle (0,\frac{\pi }{2})}$ 上恰有一个极值点，求 $a$ 的取值范围;
2. 记 $b_n={\displaystyle (\sin (x^n){)}^{\frac{1}{n}},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$, 证明: 对任意 $x\in (0,1)$, 数列 $\{b_n\}$ 是递增数列.

1. 解 $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{ax\cos (ax)-\sin (ax)}{x^2}}$. 题意等价于 $g(x)=x\cos x-\sin x$ 在 ${\displaystyle (0,\frac{a\pi }{2})}$ 上恰有一个零点，且零点两侧的函数值异号. 由于 $g^{\prime }(x)=-x\sin x$, 故 $g(x)$ 在 $(0,\pi ),(2\pi ,3\pi )$ 上增，在 $(\pi ,2\pi )$ 上减. 而$$\begin{array}{r}g(\pi )=-\pi <0,g\left(\frac{3\pi }{2}\right)=1>0,g(2\pi )=2\pi >0,g\left(\frac{5\pi }{2}\right)=-1<0,\end{array}$$
   因此$g(x)$最小的两个正零点存在于区间${\displaystyle (\pi ,\frac{3\pi }{2}),(2\pi ,\frac{5\pi }{2})}$上. 这样$a\in \{3,4\}$.
2. 证明 $x^n\in (0,1),\sin (x^n)\in (0,1)$, 结合 $\sin x$ 和 $a^x(0<a<1)$ 的单调性，有$$\begin{array}{r}1>\sin (x^n)>\sin (x^{n+1})>0\Rightarrow (\sin (x^n){)}^{\frac{1}{n}}<(\sin (x^{n+1}){)}^{\frac{1}{n}}<(\sin (x^{n+1}){)}^{\frac{1}{n+1}},\end{array}$$
   即 $b_n<b_{n+1}$, 故 $\{b_n\}$ 递增.