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已知函数 $f(x)={\displaystyle \ln x+mx+\frac{m}{x}}$.

1. 讨论函数 $f(x)$ 的单调性;
2. 已知 $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, 若 $\mathrm{\forall }a,b\in (0,+\mathrm{\infty })$, 当 $a>b$ 时，${\displaystyle \frac{2k(a-b)}{2\sqrt{ab}+a+b}+ma+f(b)+\frac{m}{a}<f(a)+\frac{m}{b}+mb}$ 恒成立，求 $k$ 的最大值.

1. $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{m{x}^2+x-m}{x^2}}$.
   • $m=0$, $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{x}>0}$, $f(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上单增.
   • $m>0$, $f^{\prime }(x)$ 有唯一零点 $x_1={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{1+4m^2}}{2m}}$, 故 $f(x)$ 在 $(0,x_1)$ 上减，在 $(x_1,+\mathrm{\infty })$ 上增.
   • $m<0$, $f^{\prime }(x)$ 有唯一零点 $x_2={\displaystyle \frac{-1-\sqrt{1+4m^2}}{2m}}$, 故 $f(x)$ 在 $(0,x_2)$ 上增，在 $(x_2,+\mathrm{\infty })$ 上减.
2. 代入 $f$ 的表达式后，原不等式等价于$$\begin{array}{r}\frac{2k(a-b)}{2\sqrt{ab}+a+b}<\ln \frac{a}{b}\Rightarrow \frac{2k(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}<2\ln \sqrt{\frac{a}{b}}.\end{array}$$
   记 ${\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}=t>1}$, 则上述不等式等价于 $$k\frac{t-1}{t+1}-\ln t<0.$$
   记左侧函数为 $g(t)$.
   • 当 $k<2$, $g^{\prime }(t)={\displaystyle -\frac{t^2-2(k-1)t-1}{t(t+1{)}^2}}$, 它的零点 $t_1,t_2$ 满足 $$\begin{array}{r}{t}_1+t_2=2(k-1)<2,t_1{t}_2=1,\end{array}$$
     从而 $t_1<1<t_2$, 则 $g(t)$ 在 $(1,t_1)$ 上增，$g(t_1)>g(1)=0$, 原不等式不恒成立;
   • $k=2$, 则 $g^{\prime }(t)=-{\displaystyle \frac{(t-1{)}^2}{t(t+1{)}^2}\le 0}$, 从而 $g(t)<g(1)=0$，原不等式恒成立.

综上, $k$ 最大值是 $2$.