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已知函数 $f(x)=a\sin x+\sin ax(a>0)$.

1. 当 $a=1,x>0$ 时，证明 $f(x)<2x$;
2. 当 $a=2$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性;
3. 设 $x>0$, 证明: ${\mathrm{e}}^{ax}+(2-\mathrm{e})ax>f(x)$.

1. 证明 此时 $f(x)=2\sin x$, 故 $x>0$ 时 $(f(x)-2x{)}^{\prime }=2\cos x-2\le 0$, 从而 $f(x)-2x<f(0)-0=0$.
2. 解 此时 $f(x)=2\sin x+\sin 2x,f^{\prime }(x)=2(2\cos x-1)(\cos x+1)$. 容易知道，当 ${\displaystyle x\in (-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\frac{\pi }{3}+2k\pi )(k\in \mathbb{Z})}$ 时，$f^{\prime }(x)>0$, $f(x)$ 单增; 当 ${\displaystyle x\in (\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\frac{5\pi }{3}+2k\pi )(k\in \mathbb{Z})}$ 时，$f^{\prime }(x)<0$, $f(x)$ 单减.
3. 证明 在1中我们证明了 $\mathrm{\forall }x>0:\sin x<x$. 这样$$\begin{array}{r}{\mathrm{e}}^{ax}+(2-\mathrm{e})ax\ge \mathrm{e}(ax)+(2-\mathrm{e})ax=2ax>a\sin x+\sin ax=f(x).\end{array}$$