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如图，一只蚂蚁从单位正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点 $A$ 出发, 每一步 (均为等可能性的) 经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过 $n$ 步回到点 $A$ 的概率 $p_{n}$ .

解钱莘芪

$A$ 出发一步不可能回到 $A$ ; 出发两步再回到 $A$ 必须在第二步沿原路折返，这样 $p_{1} = 0, p_{2} = \frac{1}{3}$ .
根据对称性，从 $A$ 出发经过 $n$ 步到达 $C, B_{1}, D_{1}$ 是等可能的. 每经过一步，蚂蚁所在的点都会在两个集合 ${A, C, B_{1}, D_{1}}, {A_{1}, C_{1}, B, D}$ 间切换，因此 $\begin{array}{r} {\begin{aligned} p_{n} + 3 q_{n} = 0, n 为奇数, \\ p_{n} + 3 q_{n} = 1, n 为偶数 . \end{aligned} \Rightarrow p_{n} + 3 q_{n} = \frac{1 + (- 1)^{n}}{2} . \end{array}$
要使 $A$ 出发经过 $n$ 步到达 $A$ , 或者要求出发 $n - 2$ 步后在 $A$ ，并再走两步回到 $A$ ，或者要求 $n - 2$ 步后在 $C, B_{1}, D_{1}$ , 并再走两步回到 $A$ , 这样 $\begin{array}{r} p_{n} = \frac{1}{3} p_{n - 2} + 3 q_{n - 2} \cdot \frac{2}{3^{2}}, \end{array}$ 而由2得 $\begin{array}{r} p_{n - 2} + 3 q_{n - 2} = \frac{1 + (- 1)^{n}}{2}, \end{array}$ 消去 $q_{n - 2}$ 得 $\begin{array}{r} p_{n} = \frac{1}{9} p_{n - 2} + \frac{1 + (- 1)^{n}}{9} \Rightarrow p_{n} - 8 [1 + (- 1)^{n}] = \frac{1}{3^{2}} (p_{n - 2} - 8 [1 + (- 1)^{n - 2}]), \end{array}$
分别对奇偶数递推得

\begin{aligned} p_{n} = & {\begin{aligned} \frac{1}{4} [1 + {(\frac{1}{3})}^{n - 1}], n 为偶数, \\ 0, n 为奇数 . \end{aligned} \end{aligned}