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如图，两射线 $l_{1}, l_{2}$ 均与直线 $l$ 垂直，垂足分别为 $D, E$ 且 $D E = 1$ . 点 $A$ 在直线 $l$ 上，点 $B, C$ 分别在射线 $l_{1}, l_{2}$ 上.

若 $F$ 为线段 $B C$ 的中点，求 $\vec{A F} \cdot \vec{A D}$ 的最小值;
$Δ A B C$ 为等边三角形，求 $Δ A B C$ 面积的取值范围.

解钱莘芪

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取 $D E$ 中点 $M$ ，则要使 $\vec{A F} \cdot \vec{A D}$ 最小，它至少要是负值，也即 $A$ 在线段 $D M$ 上. 这样 $\begin{array}{r} \vec{A F} \cdot \vec{A D} = \vec{A M} \cdot \vec{A D} = - A M \cdot A D \geq - \frac{(A M + A D)^{2}}{4} = - \frac{D M^{2}}{4} = - \frac{1}{16}, \end{array}$ 取等时 $A$ 为 $D M$ 中点.
不妨设 $A$ 在 $M$ 下方. 这样，记 $\vec{C B}$ 与射线 $l_{2}$ 所夹的角为 $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ . 而要使 $A$ 在 $l$ 上，则

\begin{array}{r} θ = π - ∠ E C A - ∠ A C B = ∠ A C l_{2} - \frac{π}{2} \geq \frac{π}{2} - \frac{π}{3} = \frac{π}{6}, \end{array}

从而 $θ \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ . 而 $B C = \frac{1}{\sin θ}$ , 这样 $\begin{array}{r} S_{Δ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4} B C^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4 \sin^{2} θ} \in [\frac{\sqrt{3}}{4}, \sqrt{3}] . \end{array}$