846

已知函数 $f(x)={\mathrm{e}}^x+(a-1)x-1$, 其中 $a\in \mathbb{R}$.

1. 讨论函数 $f(x)$ 的单调性;
2. 当 $a>1$ 时，证明: $f(x)>x\ln x-a\cos x$.

1. 解 $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x+a-1$. 当 $a\ge 1$, $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单增; 当 $a<1$, $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },\ln (1-a))$ 上单减，在 $(\ln (1-a),+\mathrm{\infty })$ 上单增.
2. 证明 即证 $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}>0,a>1$: ${\mathrm{e}}^x+a(x+\cos x)-x-1-x\ln x>0$. 记左侧函数为 $g(x)$，则$$\begin{array}{r}{g}^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x+a(1-\sin x)-\ln x-2\ge (x+1)+0-(x-1)-2=0,\end{array}$$
   故当$x\ge 1$时$g(x)\ge g(1)=\mathrm{e}-2+a(1+\cos 1)>0$. 而$0<x<1$时$g(x)>{\mathrm{e}}^x+0-x-1>0$, 故综上结论得证.