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椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ , $O$ 为椭圆的中心，过 $F_{1}$ 作直线 $l_{1}, l_{2}$ , 分别交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 和 $C, D$ , 且 $| A B |$ 的最大值为 $2 \sqrt{6}$ , $| C D |$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

求椭圆 $C$ 的方程;
设线段 $A B, C D$ 的中点分别为 $M, N$ , 记 $Δ O M N$ 的面积为 $S_{1}$ , $Δ F_{2} M N$ 的面积为 $S_{2}$ . 若直线 $l_{1}, l_{2}$ 的斜率为 $k_{1}, k_{2}$ , 且 $k_{1} k_{2} = \frac{1}{2}$ , 求证: $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 为定值，并求出这个定值.

解钱莘芪

椭圆的焦点弦在长轴取到最长，在通径取到最短，因此 $2 a = 2 \sqrt{6}, \frac{2 b^{2}}{a} = \frac{2 \sqrt{6}}{3} \Rightarrow C : \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ .
设 $l_{1} : x = t_{1} y - 2, l_{2} : x = t_{2} y - 2$ , 这里 $t_{i} = \frac{1}{k_{i}}, i = 1, 2$ , 且由于 $k_{1} k_{2} = \frac{1}{2}$ , 故 $k_{1}, k_{2} \neq 0$ , $t_{1}, t_{2}$ 存在且 $t_{1} t_{2} = 2$ . 联立 $l_{1}, C$ : $\begin{array}{r} (t_{1}^{2} + 3) y^{2} - 4 t_{1} y - 2 = 0 \Rightarrow y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{2 t_{1}}{t_{1}^{2} + 3}, \end{array}$
从而 $x_{M} = t_{1} y_{M} - 2 = - \frac{6}{t_{1}^{2} + 3}$ . 同理 $N (- \frac{6}{t_{2}^{2} + 3}, \frac{2 t_{2}}{t_{2}^{2} + 3})$ .

设 $M N$ 与 $x$ 轴交于 $P$ , 则 $\begin{array}{r} x_{P} = - \frac{x_{M} y_{N} - x_{N} y_{M}}{y_{N} - y_{M}} = \frac{12 (t_{1} - t_{2})}{6 (t_{1} - t_{2}) - 2 t_{1} t_{2} (t_{1} - t_{2})} = - 6, \end{array}$
如图，作 $F_{2}, O$ 在 $M N$ 上的垂足 $F^{'}, O^{'}$ , 则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{O O^{'}}{F_{2} F^{'}} = \frac{O Q}{F_{2} Q} = \frac{3}{4} .$