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已知函数 $f(x)=ax-\ln x,a\in \mathbb{R}$.

1. 讨论函数 $f(x)$ 的单调性;
2. 当 $a=1$ 时, 设 $g(x)={\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{f(x)}}$, 求证: 函数 $g(x)$ 存在极大值点 $x_0$，且 ${\displaystyle \frac{2}{{\mathrm{e}}^2}<g(x_0)<\frac{2}{3}}$.

1. $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{ax-1}{x}}$. 当 $a\le 0$, $f(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上单增; 当 $a>0$, $f(x)$ 在 ${\displaystyle (0,\frac{1}{a})}$ 上单减，在 ${\displaystyle (\frac{1}{a},+\mathrm{\infty })}$ 上单增.
2. 求导得 $g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{x-1}{(x-\ln x{)}^2}(x-\frac{1}{x}+2-2\ln x)}$. 记 $h(x)={\displaystyle x-\frac{1}{x}+2-2\ln x}$, 则 $h^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{x^2}\ge 0}$. 又$$\begin{array}{rl}& h\left(\frac{1}{{\mathrm{e}}^2}\right)=6+\frac{1}{{\mathrm{e}}^2}-{\mathrm{e}}^2<7-{\mathrm{e}}^2<0,\\ & h\left(\frac{1}{3}\right)=2\ln 3-\frac{2}{3}>2-\frac{2}{3}>0,\end{array}$$
   从而 $g^{\prime }(x)$ 存在唯一零点 $x_0\in {\displaystyle (\frac{1}{{\mathrm{e}}^2},\frac{1}{3})}$, 且它是 $g(x)$ 的唯一极大值点，进而