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在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D = 3 \sqrt{2}, B C = C D = 3, B C ⊥ C D$ , 将 $Δ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使点 $A$ 到达点 $A^{'}$ , 且 $A^{'} C = 3 \sqrt{3}$ , 则四面体 $A^{'} - B C D$ 的外接球 $O$ 的体积为_____; 若点 $E$ 在线段 $B D$ 上，且 $B D = 4 B E$ , 过点 $E$ 作球 $O$ 的截面，则所得的截面圆中面积最小的圆的半径为_____.

解钱莘芪

四边形 $A B C D$ 由等腰直角三角形 $B C D$ ( $C$ 为直角)和正三角形 $A B D$ 组成. 在四面体中取 $B D$ 中点 $O^{'}$ ，它是 $Δ B C D$ 的外心，故 $O O^{'} ⊥$ 平面 $B C D$ . 因此在 $Δ A^{'} C O^{'}$ 中，外接球球心 $O$ 是 $C O^{'}$ 垂线和 $A^{'} C$ 中垂线的交点，且 $C O^{'} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, A^{'} O^{'} = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$ , 条件又给到 $A^{'} C = 3 \sqrt{3}$ .

为求外接球 $O$ 的半径，可以参考右图，补全直角三角形 $A^{'} C H$ , 则 $\begin{array}{r} A^{'} H^{2} = A^{'} O^{' 2} - O^{'} H^{2} = A^{'} C^{2} - (C O^{'} + O^{'} H)^{2} \Rightarrow O^{'} H = \frac{3 \sqrt{2}}{2} = C O^{'}, \end{array}$
进而 $\begin{array}{r} A^{'} H = 3 = \sqrt{R^{2} - C O^{' 2}} + \sqrt{R^{2} - O^{'} H^{2}} \Rightarrow R = \frac{3 \sqrt{3}}{2}, \end{array}$
进而外接球 $O$ 的体积为 $\frac{4}{3} π R^{3} = \frac{27 \sqrt{3} π}{2}$ .

对第二问，设这个截面圆的圆心到 $O$ 的距离为 $d$ . 则 $$d\leq \displaystyle EO
=\sqrt{EO'^2+OO'^2}=\frac{3\sqrt{6}}{4},

(因 为 可 以 注 意 到 $ B D ⊥ $ 平 面 $ A^{'} C O^{'} $) 从 而 截 面 圆 的 半 径 $ r \geq \sqrt{R^{2} - d^{2}} = \frac{3 \sqrt{6}}{4} $ . >! [P a s t e d i m a g e 20260122125048. p n g | 300] (/ i m g / u s e r / f i g u r e / P a s t e d