851

如图，在 $\mathrm{\Delta }ABC$ 中，$AC=1,BC=\sqrt{3},C={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, 点 $D$ 是边 $AB$ (端点除外) 上的一动点. 若将 $\mathrm{\Delta }ACD$ 沿直线 $CD$ 翻折，能使点 $A$ 在平面 $BCD$ 内的射影 $A^{\prime }$ 落在 $\mathrm{\Delta }BCD$ 的内部 (不包含边界), 且 $A^{\prime }C={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}}$. 设 $AD=t$, 则 $t$ 的取值范围是_____.

在 $A$ 翻折中，总有 $A{A}^{\prime }\perp CD$.因此如图，题意等价于在以 $C$ 为圆心, ${\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}}$ 为半径的圆上取点 $A^{\prime }$，它在 $\mathrm{\Delta }BCD$ 中. 观察图形可得一方面 $AD>{\displaystyle \frac{1}{2}}$ (对应 $C$ 在 $AB$ 上的垂足). 另一方面当 $A^{\prime }\to BC$ 边时 $AD$ 取到最大. 此时由射影定理易得 $A{A}^{\prime }={\displaystyle \frac{4}{3},AH=\frac{3}{4},CH=\frac{\sqrt{7}}{4}}$, 则$$\begin{array}{r}\cos \mathrm{\angle }HAD=\cos (\frac{\pi }{3}-\mathrm{\angle }CAH)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{3+\sqrt{21}}{8}\Rightarrow AD=\frac{AH}{\cos \mathrm{\angle }HAD}=\frac{\sqrt{21}-3}{2}.\end{array}$$
综上，$t\in {\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{\sqrt{21}-3}{2})}$.