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设 $f(x)=|{\log }_{2}x+ax+b|(a>0)$, 记函数 $y=f(x)$ 在区间 $[t,t+1](t>0)$ 上的最大值为 $M_t(a,b)$. 若对任意 $b\in \mathbb{R}$, 都有 $M_t(a,b)\ge a+1$，则实数 $t$ 的最大值为_____.

注意到 $g(x)={\log }_{2}x+ax+b$ 关于 $x$ 单增，故$$\begin{array}{r}{M}_t(a,b)=max\{f(t),f(t+1)\}\ge \frac{1}{2}|g(t+1)-g(t)|=\frac{1}{2}({\log }_2\frac{t+1}{t}+a)\ge a+1,\end{array}$$
因此解得$t_{max}={\displaystyle \frac{1}{2^{a+2}-1}}$.