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已知函数 $f(x)={\mathrm{e}}^x+a\sin x-1(a<0)$.

1. 若 $a=-1$, 求证: 当 $x\ge 0$ 时，$f(x)\ge 0$;
2. 讨论函数 $g(x)=f(x)+ax\cos x$ 在区间 $[0,\pi ]$ 上的零点个数.

1. 证明 当 $a=-1,x\ge 0$，有 $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x-\cos x\ge 1-\cos x\ge 0$, 故 $f(x)\ge f(0)=0$.

2. 解 给定 $a$，记 $g(x)=g_a(x)$，是关于 $a$ 的一次函数.

   • 当 ${\displaystyle -\frac{1}{2}\le a<0}$,则 $\mathrm{\forall }x\in [0,\pi ]$: $g(x)\ge min{\displaystyle \{g_0(x),g_{-\frac{1}{2}}(x)\}}$.
     因为$g_0(x)={\mathrm{e}}^x-1\ge 0$,而$[0,\pi ]$上$$\begin{array}{r}{g}_{-\frac{1}{2}}^{\prime }(x)=({\mathrm{e}}^x-\cos x)+\frac{1}{2}x\cos x\ge 0,\end{array}$$
     故${\displaystyle g_{-\frac{1}{2}}(x)\ge g(0)=0}$.因此此时$g(x)$只有唯一零点$x=0$.
   • 当 $a<-{\displaystyle \frac{1}{2}}$,考察 $g^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x+a(2\cos x-x\sin x),g^{″}(x)={\mathrm{e}}^x-3a(\sin x+x\cos x)$.则 $x\in {\displaystyle [0,\frac{\pi }{2}]}$ 时 $g^{″}(x)>0$，故此时 $g^{\prime }(x)$ 单增.又 $g^{\prime }(0)=1+2a<0<{\displaystyle g^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)={\mathrm{e}}^{\frac{\pi }{2}}-\frac{\pi }{2}a}$,故 $g^{\prime }(x)$ 在 ${\displaystyle (0,\frac{\pi }{2})}$ 上存在唯一零点 $x_0$. 当 $x\in {\displaystyle [\frac{\pi }{2},\pi ]}$ 时显然 $g^{″}(x)>0$，故 $g^{\prime }(x)\ge g^{\prime }{\displaystyle \left(\frac{\pi }{2}\right)>0}$.
     这样 $x_0$ 是 $g(x)$ 的唯一极小值点.又 $g(0)=0,g(\pi )={\mathrm{e}}^{\pi }-a\pi -1>{\displaystyle {\mathrm{e}}^{\pi }+\frac{\pi }{2}-1>0}$,故 $g(x)$ 存在两个零点.

   综上，${\displaystyle -\frac{1}{2}\le a<0}$ 时有 $1$ 个零点，${\displaystyle a<-\frac{1}{2}}$ 时有两个零点.