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已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} > 0$ 且 $a_{1} a_{2} a_{3} + 2 a_{2}^{2} + a_{2} + a_{3} - a_{4} = 1$ , 求 $a_{1}$ 的取值范围.

解钱莘芪

记 ${a_{n}}$ 公比为 $q > 0$ .则条件式等价于 $\begin{array}{r} f (q) = (a_{1}^{3} - a_{1}) q^{3} + a_{1} (2 a_{1} + 1) q^{2} + a_{1} q - 1 = 0, \end{array}$
其中 $f$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ .而 $f^{'} (q) = [3 (a_{1} + 1) q + 1] [(a_{1} - 1) q + 1]$ .

若 $a_{1} \geq 1$ ，则 $f^{'} (q) > 0$ .又 $f (0) = - 1 < 0, lim_{q \to + \infty} f (q) = + \infty$ ,故 $f (q)$ 存在唯一零点, 符合题意.
若 $0 < a_{1} < 1$ ，则 $f (q)$ 有唯一极大值点 $q_{0} = \frac{1}{1 - a_{1}} > 0$ ，因此要求 $\begin{array}{r} f (\frac{1}{1 - a_{1}}) = - \frac{a_{1}^{2} - 3 a_{1} + 1}{(a_{1} - 1)^{2}} \geq 0 \Rightarrow \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \leq a_{1} < 1. \end{array}$

综上， $a_{1} \geq \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ .