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已知函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 a (x - 2) e^{x} - a^{2} x^{2} (a > 0)$ 恰有两个零点，求 $a$ 的值.

解钱莘芪

$f^{'} (x) = 2 (e^{x} + a) (e^{x} - a x)$ .如果 $a \leq e$ ，则 $e^{x} \geq e x \geq a x \Rightarrow f^{'} (x) \geq 0$ ，这样不存在两个零点；则 $a > e$ ，记 $g (x) = e^{x} - a x, g^{'} (x) = e^{x} - a$ ，得 $g (x)$ 有极小值点 $x = \ln a > 1$ ，进而可知 $g (x)$ 在 $(0, \ln a)$ 上有零点 $x_{1}$ , $(\ln a, 2 a)$ 上有零点 $x_{2}$ ，从而 $f (x)$ 在 $(- \infty, x_{1}), (x_{2}, + \infty)$ 上增，在 $(x_{1}, x_{2})$ 上减.

对于 $i = 1, 2$ , $e^{x_{i}} = a x_{i}$ ，从而 $f (x_{i}) = - 2 a^{2} x_{i} (x_{i} - 2)$ .由于 $lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty, lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ ，(可以进行如下放缩：当 $x > 6 a$ 时依据 $e^{x} > \frac{1}{2} x^{2}$ 有 $\begin{aligned} f (x) & = (e^{x} - a x)^{2} - 2 a^{2} x^{2} + 4 a e^{x} > {(\frac{1}{2} x^{2} - a x)}^{2} - 2 a^{2} x^{2} \\ > (3 a x - a x)^{2} - 2 a^{2} x^{2} = 2 a^{2} x^{2} \to + \infty . \end{aligned}$
当 $x < \ln a$ 时 $\begin{array}{r} f (x) < e^{2 x} + 4 a e^{x} - a^{2} x^{2} < 5 a^{2} - a^{2} x^{2} \to - \infty . \end{array}$
) 故只能是某个极值为 $0$ ，即 $x_{1} = 2$ 或 $x_{2} = 2$ ，从而 $a = \frac{e^{2}}{2}$ .