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设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项之积为 $T_n$, 满足 $2a_n+T_n=1(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$.

1. 设 $b_n=1+{\displaystyle \frac{1}{T_n}}$, 求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式 $b_n$;
2. 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项之和为 $S_n$, 证明: $${\displaystyle \frac{n}{2}-\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}<S_n<\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\ln \frac{2^{n+1}}{2^{n+1}-1}-\frac{1}{4}.}$$

1. 解 $\{b_n\}$ 的表达式意味着 $T_n\ne 0$.当 $n\ne 2$,条件式意味着$$\begin{array}{r}2\frac{T_n}{T_{n-1}}+T_n=1\Rightarrow \frac{1}{T_n}+1=2(\frac{1}{T_{n-1}}+1),\end{array}$$
   再由 $n=1$ 解得 $a_1=T_1={\displaystyle \frac{1}{3}}$,从而 ${\displaystyle \{\frac{1}{T_n}+1\}}$ 是以 $4$ 为首项，$2$ 为公比的等比数列，进而 ${\displaystyle b_n=\frac{1}{T_n}+1=2^{n+1}}$.
2. 证明 当 $n\ge 2$, $a_n={\displaystyle \frac{T_n}{T_{n-1}}=\frac{2^n-1}{2^{n+1}-1}}$ (这事实上也是 $n=1$ 的情形).
   一方面$$\begin{array}{r}{a}_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+2}-2}>\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+2}-2^{n+1}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}},\end{array}$$
   累加即得$$\begin{array}{r}{S}_n>\sum _{i=1}^n(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}})=\frac{n}{2}-\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}.\end{array}$$
   另一方面$$\begin{array}{r}{a}_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+2}}<\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+2}},\end{array}$$
   故累加得$$\begin{array}{r}{S}_n<\frac{n}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2^{n+2}}.\end{array}$$
   又$$\begin{array}{r}\ln \frac{2^{n+1}}{2^{n+1}-1}>1-\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}\Rightarrow S_n<\frac{n}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\ln \frac{2^{n+1}}{2^{n+1}-1}.\end{array}$$
   因此不等式得证.