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已知双曲线 $C$ 的两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$ , $P$ 为 $C$ 上一点， $| P F_{1} | = | F_{1} F_{2} |, ∠ P F_{1} F_{2} = 36^{\circ}$ , 求 $C$ 的离心率.

解钱莘芪

不妨设双曲线是传统的 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ,则由题意 $P F_{1} = 2 c, P F_{2} = 2 c - 2 a$ .由正弦定理可得 $\begin{array}{r} \frac{P F_{1}}{P F_{2}} = \frac{c}{c - a} = \frac{\sin 72^{\circ}}{\sin 36^{\circ}} \Rightarrow \frac{e}{e - 1} = 2 \cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}, \end{array}$
解得 $e = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ .

如果不知道 $\cos 36^{\circ}$ 的值，可以关注图形的几何关系. 设 $P F_{1}$ 交 $y$ 轴于 $Q$ , 则 $∠ P F_{1} F_{2} = ∠ Q F_{2} F_{1} = ∠ P F_{2} Q = 36^{\circ}$ ，这样 $Δ P F_{2} Q \sim Δ P F_{1} F_{2} \Rightarrow P F_{2}^{2} = P Q \cdot P F_{1}$ , 即 $(2 c - 2 a)^{2} = 2 a \cdot 2 c$ .