862

已知函数 $f(x)=(1+x{)}^m-mx-1,x\in (-1,+\mathrm{\infty }),m>0$ 且 $m\ne 1$.

1. 讨论 $f(x)$ 的单调性;
2. 若 ${\displaystyle \mathrm{\forall }x\in (0,\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2},\pi ),a\sin x<(1+{\cos }^{2}x{)}^{\sin x}}$, 求 $a$ 的取值范围;
3. 证明: 当 ${\displaystyle x\in (0,\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2},\pi )}$, 且 $n\in \mathbb{N},n\ge 2$ 时，恒有 $${\displaystyle \frac{(1-\sqrt{\sin x})(1-\sqrt[3]{\sin x})\cdots (1-\sqrt[n]{\sin x})}{(1-\sin x{)}^{n-1}}>\frac{1}{n!}.}$$

1. 解 $f^{\prime }(x)=m[(1+x{)}^{m-1}-1]$. $0<m<1$ 时 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 上减，在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上增；$m>1$ 时 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 上增，在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上减.

2. 解 当 $a\le 0$，不等式显然成立；当 $a>0$，记 $t=\sin x\in (0,1)$，则原不等式等价于$$\begin{array}{r}at<(2-t^2{)}^t\Rightarrow \ln a<t\ln (2-t^2)-\ln t,\end{array}$$
   记右侧函数为$g(t),t\in (0,1)$，则$$\begin{array}{r}{g}^{\prime }(t)=\ln (2-t^2)-\frac{2t^2}{2-t^2}-\frac{1}{t}\le (2-t^2)-1-\frac{2t^2}{2-t^2}-\frac{1}{t}=\frac{-t^2(4-t^2)}{2-t^2}+\frac{t-1}{t}<0,\end{array}$$
   故只需$\ln a\le g(1)=0\Rightarrow a\le 1$.

   综上，$a\le 1$.

3. 证明 记 $\sqrt[n]{\sin x}=t<1$，则$$\begin{array}{r}\frac{1-\sqrt[n]{\sin x}}{1-\sin x}=\frac{1-t}{1-t^n}=\frac{1}{1+t+\cdots +t^{n-1}}>\frac{1}{n},\end{array}$$
   累乘即得$$\begin{array}{r}\prod _{i=2}^n\frac{1-\sqrt[i]{\sin x}}{1-\sin x}=\frac{\prod _{i=2}^n(1-\sqrt[i]{1-\sin x})}{(1-\sin x{)}^{n-1}}>\frac{1}{n!}.\end{array}$$