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已知数列 $\{a_n\}$ 满足 ${\displaystyle \frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\cdots +\frac{a_n}{2^n}=n(n\in {\mathbb{N}}^{\ast }),b_n=\lambda (a_n-1)-n^2+4n}$, 若数列 $\{b_n\}$ 为单调递增数列，则 $\lambda$ 的取值范围为_____.

首先容易求得 $a_n=2^n$. 这样要使 $\{b_n\}$ 单增，只需 $$\begin{array}{r}{b}_{n+1}-b_n=2^n\lambda -2n+3\ge 0,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\end{array}$$
记 ${\displaystyle c_n=\frac{2n-3}{2^n}}$,则 ${\displaystyle c_{n+1}-c_n=\frac{5-2n}{2^{n+1}}}$,容易得到 $\{c_n\}$ 的最大项是 $c_3={\displaystyle \frac{3}{8}}$，故 $\lambda >{\displaystyle \frac{3}{8}}$.