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已知函数 $f(x)=ax-2-\ln x$, 其中 $a\in \mathbb{R}$.

1. 讨论 $f(x)$ 的单调性;
2. 若 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$，且 $x_2\ge 3x_1$, 求 $x_1{x}_2$ 的最小值.

1. $f^{\prime }(x)={\displaystyle a-\frac{1}{x}}$. 当 $a\le 0$, $f(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上单减；当 $a>0$，$f(x)$ 在 ${\displaystyle (0,\frac{1}{a})}$ 上单减，在 ${\displaystyle (\frac{1}{a},+\mathrm{\infty })}$ 上单增.
2. 由题意$$\begin{array}{r}A=\frac{2+\ln x_1}{x_1}=\frac{2+\ln x_2}{x_2}.\end{array}$$
   记 $t={\displaystyle \frac{x_2}{x_1}\ge 3}$, 则上式变为$$\begin{array}{r}T(2+\ln x_1)=2+\ln (t{x}_1),\end{array}$$
   解得 ${\displaystyle \ln x_2=\frac{\ln t}{t-1}-2,\ln x_1=\frac{t\ln t}{t-1}-2}$, 从而 $\ln x_1{x}_2={\displaystyle \frac{t+1}{t-1}\ln t-4}$. 而 $${\displaystyle {(\frac{t+1}{t-1}\ln t-4)}^{\prime }=\frac{1}{(t-1{)}^2}(t-\frac{1}{t}-2\ln t)\ge 0,}$$ 从而 ${\displaystyle \ln x_1{x}_2\ge \frac{4}{2}\ln 3-4\Rightarrow x_1{x}_2\ge {\mathrm{e}}^{2\ln 3-4}=\frac{9}{{\mathrm{e}}^4}}$.