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比较下面三数大小: $a={\mathrm{e}}^{\pi },b={\pi }^{\mathrm{e}},c=(\sqrt{2}{)}^{\mathrm{e}\pi }$.

构造函数 $f(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x},x>0}$，有 $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^2}}$,这样 $f(x)$ 在 $[\mathrm{e},+\mathrm{\infty })$ 上单减，进而 $$f(4)<f(\pi )<f(\mathrm{e})\Rightarrow \frac{\ln 2}{2}<\frac{\ln \pi }{\pi }<\frac{1}{\mathrm{e}}.$$
要比较$a,b$，即比较$\pi ,\mathrm{e}\ln \pi$，则$a>b$.要比较$b,c$，即比较$\mathrm{e}\ln \pi ,{\displaystyle \frac{\mathrm{e}\pi }{2}\ln 2}$的大小，则$b>c$，综上$a>b>c$.