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已知函数 $f(x)=\ln (1-x)+a\sin x$.

1. 若 $f(x)<0$ 对任意的 $x\in (0,1)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围;
2. 证明：${\displaystyle \frac{1}{2}\cos \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cos \frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}\cos \frac{1}{n}<\ln n(n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n\ge 2)}$.

1. 解 当 $a\le 1$，$f(x)\le \ln (1-x)+\sin x=g(x)$，则 $g^{\prime }(x)={\displaystyle \cos x-\frac{1}{1-x}<\cos x-1<0}$，则 $g(x)<g(0)=0$，满足题意；当 $a>1$，$f^{\prime }(x)={\displaystyle a\cos x-\frac{1}{1-x},f^{″}(x)=-a\sin x-\frac{1}{(x-1{)}^2}<0}$，而 $f^{\prime }(0),f^{\prime }(1-\frac{1}{a})>0$，故 $f(x)$ 在 ${\displaystyle (0,1-\frac{1}{a})}$ 上单增，与题意不符；综上 $a\le 1$.
2. 证明 由于$$\begin{array}{r}\ln \frac{n}{n-1}=-\ln \frac{n-1}{n}\ge -\frac{n-1}{n}+1=\frac{1}{n}>\frac{1}{n}\cos \frac{1}{n},\end{array}$$
   累加即可得证.