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已知椭圆 ${\displaystyle C:\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1}$, $O$ 为坐标原点，若椭圆 $C^{\prime }$ 与椭圆 $C$ 的离心率相同，焦点都在同一坐标轴上，椭圆 $C^{\prime }$ 的长轴长与椭圆 $C$ 的长轴长之比为 $1:\sqrt{2}$.

1. 求椭圆 $C^{\prime }$ 的方程;
2. 已知点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，点 $A,B$ 在椭圆 $C^{\prime }$ 上，若 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$, 则四边形 $OAPB$ 的面积是否为定值? 若是，求出定值；若不是，请说明理由.

1. 设 $C^{\prime }:{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,a>b>0,c=\sqrt{a^2-b^2}}$，则 ${\displaystyle \frac{c}{a}=\sqrt{\frac{6}{8}},a=2}$，解得 $C^{\prime }:{\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1}$.
2. 设 $A(2\cos \alpha ,\sin \alpha ),B(2\cos \beta ,\sin \beta )$，则 $P(2(\cos \alpha +\cos \beta ),\sin \alpha +\sin \beta )$.由于 $P$ 在 $C$ 上，代入得 $$\begin{array}{r}\frac{(\cos \alpha +\cos \beta {)}^2}{2}+\frac{(\sin \alpha +\sin \beta {)}^2}{2}=1\Rightarrow \cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =\cos (\alpha -\beta )=0,\end{array}$$
   则$$\begin{array}{r}{S}_{\mathrm{\Delta }AOB}=\frac{1}{2}|x_A{y}_B-x_B{y}_A|=|\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta |=|\sin (\beta -\alpha )|=1,\end{array}$$
   进而$S_{OAPB}=2S_{\mathrm{\Delta }AOB}=2$为定值.