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已知 $Δ A B C$ , $D$ 是 $A B$ 的中点，沿直线 $C D$ 将 $Δ A C D$ 折成 $Δ A^{'} C D$ ，所成二面角 $A^{'} - C D - B$ 的平面角为 $α$ , 则
A. $∠ A^{'} D B \leq α$
B. $∠ A^{'} D B \geq α$
C. $∠ A^{'} C B \leq α$
D. $∠ A^{'} C B \leq α$

解钱莘芪

作 $A^{'} H^{'}, B H ⊥ D C$ 于 $H^{'}, H$ ，则 $Rt Δ A^{'} D H^{'} ≅ Rt Δ B D H$ .剥离出这个局部图形如图，并补全底部的矩形 $H H^{'} E B$ .设 $A^{'} H^{'} = H^{'} E = y, H D = H^{'} D = x, A^{'} E = t \leq 2 y$ ，则由 $B E ⊥ 平面 A^{'} H^{'} E$ 有 $A^{'} B = \sqrt{t^{2} + 4 x^{2}}$ .这样 $\begin{aligned} \cos ∠ A^{'} H^{'} E - \cos ∠ A^{'} D B \\ = & \frac{2 y^{2} - t^{2}}{2 y^{2}} - \frac{2 (x^{2} + y^{2}) - (4 x^{2} + t^{2})}{2 (x^{2} + y^{2})} = \frac{x^{2} (4 y^{2} - t^{2})}{2 y^{2} (x^{2} + y^{2})} \geq 0, \end{aligned}$
因此 $∠ A^{'} H^{'} E = α \leq ∠ A^{'} D B$ ,故A错B对.

固定其它点不动，沿 $C D$ 方向移动 $D$ 使 $C D \to \infty$ ，则 $∠ A^{'} C B \to 0 < α$ ;使 $C D \to 0$ ，则 $∠ A^{'} C B \to A^{'} D B \geq α$ ，故C,D均不恒成立.

综上，答案选B.
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