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现有一种不断分裂的细胞 $X$ , 每个时间周期 $T$ 内分裂一次，一个 $X$ 细胞每次分裂能生成一个或两个新的 $X$ 细胞，每次分裂后原 $X$ 细胞消失. 设每次分裂成一个新 $X$ 细胞的概率为 $p$ , 分裂成两个新 $X$ 细胞的概率为 $1 - p$ ; 新细胞在下一个周期 $T$ 内可以继续分裂，每个细胞间相互独立. 设有一个初始的 $X$ 细胞，在第一个周期 $T$ 中开始分裂，其中 $p \in (\frac{1}{2}, 1)$ .

设 $2 T$ 结束后， $X$ 细胞的数量为 $ξ$ , 求 $ξ$ 的分布列和数学期望;
设 $n T (n \in N^{*})$ 结束后， $X$ 细胞数量为 $m$ 的概率为 $P_{m} (n)$ .
求 $P_{2} (n)$ ;
证明: $P_{3} (n) < \frac{8}{27 p^{2}}$ .

解答钱莘芪

解 $ξ$ 的取值有 $1, 2, 3, 4$ . 简单讨论易得 $P (ξ = 1) = p^{2}, P (ξ = 4) = (1 - p)^{3}, P (ξ = 2) = (1 - p) p^{2} + p (1 - p) = p - p^{3}$ ，进而 $P (ξ = 3) = 1 - p^{2} - (1 - p)^{3} - (p - p^{3}) = 2 p (1 - p)^{2}$ . 因此 $ξ$ 的分布列如下表:

$ξ$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P$	$p^{2}$	$p - p^{2}$	$2 p (1 - p)^{2}$	$(1 - p)^{2}$
因此 $E (ξ) = 6 p^{3} - 9 p^{2} + 4$ .

1. 解如果 $(n - 1) T$ 后有 $1$ 个细胞，则它必分裂为 $2$ 个使得 $n T$ 后有 $2$ 个细胞;如果 $(n - 1) T$ 后有 $2$ 个细胞，它们必各自分裂为 $1$ 个.因此 $\begin{aligned} P_{2} (n) = (1 - p) P_{1} (n - 1) + p^{2} P_{2} (n - 1) \\ \Rightarrow & P_{2} (n) - p^{n - 1} = p^{2} (P_{2} (n - 1) - p^{n - 2}) = \dots = p^{2 (n - 1)} (p_{2} (1) - 1), \end{aligned}$
  又 $P_{2} (1) = 1 - p$ ，故 $P_{2} (n) = p^{n - 1} - p^{2 n - 1}$ .
2. 证明类似 2.1，写出递推式 $\begin{aligned} P_{3} (n) & = p^{3} P_{3} (n - 1) + 2 p (1 - p) P_{2} (n - 1) \\ = p^{3} P_{3} (n - 1) + 2 p^{n} (1 - p) (1 - p^{n}) < p^{3} P_{3} (n - 1) + \frac{1}{2} (1 - p) . \end{aligned}$
  
  一方面 $\begin{aligned} P_{3} (2) & = 0 + 2 p (1 - p) P_{2} (1) = 2 p (1 - p) (1 - p) \\ \leq {(\frac{2 p + 1 - p + 1 - p}{3})}^{3} = \frac{8}{27} < \frac{8}{27 p^{2}}, \end{aligned}$
  另一方面假设 $P_{3} (n - 1) < \frac{8}{27 p^{2}}$ ，有 $\begin{array}{r} P_{3} (n) - \frac{8}{27 p^{2}} < \frac{8 p}{27} + \frac{1}{2} (1 - p) - \frac{8}{27 p^{2}} = \frac{1 - p}{54 p^{2}} (11 p^{2} - 16 p - 16) < 0, \end{array}$
  因此根据归纳原理 $P_{3} (n) < \frac{8}{27 p^{2}}$ 得证!