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已知函数 $f(x)=x^3+ax$ 有且只有一个内接正方形，求 $a$ 与正方形的边长.

由题意 $a<0$.只需考虑正方形的对称中心在原点的情形.联立直线 $y=kx$ (不妨设 $k>0$)与 $y=f(x)$，解得在第一象限内的交点 $A{\displaystyle (\sqrt{k-a},k\sqrt{k-a})}$.将 $k$ 替换为 ${\displaystyle -\frac{1}{k}}$ 有第二象限的交点 $B{\displaystyle (\sqrt{-\frac{1}{k}-a},-\frac{1}{k}\sqrt{-\frac{1}{k}-a})}$. 则根据几何关系$$\begin{array}{r}{x}_A=-y_B\Rightarrow a=\frac{k^4+1}{k(k^2-1)}=g(k)<0.\end{array}$$
这个方程至少解是唯一的，因此 $a$ 应取 $g(k)$ 的极值.而 $${\displaystyle g^{\prime }(k)=\frac{k^6-3k^4-3k^2+1}{k^2(k^2-1{)}^2}=\frac{(k^2+1)(k^4-4k^2+1)}{k^2(k^2-1{)}^2}.}$$ 要使 $g(k)<0$,则 $0<k<1$，此处只有唯一极值点 $k={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}}$,因此 $a=g{\displaystyle \left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\right)=-2\sqrt{2}}$,进而 $AB=\sqrt{2}OA=\sqrt[4]{72}$.