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对于四边形 $A B C D$ , 有 $A B = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, B C = \frac{\sqrt{10}}{2}, C D = 1, D A = \sqrt{3}$ , 且有 $∠ A = 75^{\circ}$ ，求对边中点距离之和.

解钱莘芪

直接求解本题是困难的，我们可以观察 $C, D, A$ ，根据 $1, \sqrt{3}$ 猜想这三个点是一个含 $30^{\circ}$ 的直角三角形. 倘若它确实是，则 $A C = 2, ∠ B A C = 45^{\circ}$ ，根据余弦定理恰有 $B C = \frac{\sqrt{10}}{2}$ ，这印证了我们的猜想！

我们将这一结果表达在直角坐标系中，令 $A (- \frac{3}{2}, 0), C (\frac{1}{2}, 0), D (0, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则可以确定 $B (- \frac{3}{4}, \frac{3}{2})$ .但这只是一种情形.固定 $A, B, D$ 不变，取 $C^{'} (- \frac{1}{2}, 0)$ ，则凹四边形 $A B C^{'} D$ 也满足题意.另一方面根据条件， $Δ A B D$ 是固定的三角形，则 $C$ 可以认为是 $B, D$ 为圆心，固定半径所做的圆的交点，有且仅有两个，因此我们找出了全部情形的坐标表达.

因此可以求得中点距离之和为 $\sqrt{{(- \frac{4}{3} \pm \frac{1}{4})}^{2} + {(\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4})}^{2}} = \frac{3 \sqrt{3} + 1}{4}$ 或 $\frac{\sqrt{16 + 6 \sqrt{3}}}{2}$ .
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