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在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A$ 为椭圆 $\mathrm{\Gamma }:{\displaystyle \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1}$ 上一点，$F_1,F_2$ 分别为椭圆的左、右焦点.

1. 若点 $A$ 的横坐标为 $2$，求 $|A{F}_1|$ 的长;
2. 设 $\mathrm{\Gamma }$ 的上、下顶点分别为 $M_1,M_2$, 记 $\mathrm{\Delta }A{F}_1{F}_2$ 的面积为 $S_1$, $\mathrm{\Delta }A{M}_1{M}_2$ 的面积为 $S_2$, 若 $S_1\ge S_2$, 求 $|OA|$ 的取值范围;
3. 若点 $A$ 在 $x$ 轴上方，设直线 $A{F}_2$ 与 $\mathrm{\Gamma }$ 交于点 $B$, 与 $y$ 轴交于点 $K$, $K{F}_1$ 延长线与 $\mathrm{\Gamma }$ 交于点 $C$, 是否存在 $x$ 轴上方的点 $C$，使得 $\overrightarrow{F_{1}A}+\overrightarrow{F_{1}B}+\overrightarrow{F_{1}C}=\lambda (\overrightarrow{F_{2}A}+\overrightarrow{F_{2}B}+\overrightarrow{F_{2}C})(\lambda \in \mathbb{R})$ 成立? 若存在，请求出点 $C$ 的坐标; 若不存在，请说明理由.

1. 在 $\mathrm{\Gamma }$ 的方程中代入 $x_A=2$ 得 ${\displaystyle A{F}_2=|y_A|=\frac{\sqrt{6}}{3}}$, 进而 $A{F}_1=2a-A{F}_2={\displaystyle \frac{5\sqrt{6}}{3}}$.
2. ${\displaystyle S_1\ge S_2⟺\frac{1}{2}\cdot 4|y_A|\ge \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}|x_A|\Rightarrow \sqrt{2}|y_A|\ge |x_A|}$. 两边平方得$$\begin{array}{r}2y_A^2=4(1-\frac{x_A^2}{6})\ge x_A^2\Rightarrow 0<x_A^2\le \frac{12}{5},\end{array}$$
   (我们不承认三点共线的退化三角形，因此令 $|x_A|,|y_A|>0$). 进而$$\begin{array}{r}OA=\sqrt{x_A^2+y_A^2}=\sqrt{x_A^2+2(1-\frac{x_A^2}{6})}=\sqrt{\frac{2}{3}{x}_A^2+2}\in (\sqrt{2},\frac{3\sqrt{10}}{5}].\end{array}$$
3. 结合题目描述做出图形. 这样可以注意到 $KA,KC$ 关于 $y$ 轴对称. 记 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 则 $C(-x_1,y_1)$. 而 $F_1(-2,0),F_2(2,0)$，因此 $\overrightarrow{F_{1}A}+\overrightarrow{F_{1}B}+\overrightarrow{F_{1}C}=(x_2+6,2y_1+y_2),\overrightarrow{F_{2}A}+\overrightarrow{F_{2}B}+\overrightarrow{F_{2}C}=(x_2-6,2y_1+y_2)$. 根据条件这两个向量平行，因此$$\begin{array}{r}0=(x_2+6)(2y_1+y_2)-(x_2-6)(2y_1+y_2)=12(2y_1+y_2)\Rightarrow 2y_1+y_2=0.\end{array}$$
   这样$2\overrightarrow{A{F}_2}=\overrightarrow{F_{2}B}$, 因此$$x_{F_2}={\displaystyle \frac{2x_1+x_2}{3}=2\Rightarrow 2x_1+x_2=6.}$$
   另一方面由${\displaystyle \frac{4x_1^2}{6}+\frac{4y_1^2}{2}=4,\frac{x_2^2}{6}+\frac{y_2^2}{2}=1}$, 作差得$$\begin{array}{r}\frac{(2x_1+x_2)(2x_1-x_2)}{6}=3=2x_1-x_2,\end{array}$$
   解得 $x_1={\displaystyle \frac{9}{4},y_1=\frac{\sqrt{5}}{4}}$, 故 $C$ 存在且坐标为 ${\displaystyle (-\frac{9}{4},\frac{\sqrt{5}}{4})}$.