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已知函数 $f(x)=(x-a)\cos x-\sin x+a,a\in \mathbb{R}$.

1. 若 $a=0$，求 $f(x)$ 的所有单调区间;
2. 若 $g(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{(x-a{)}^2+|a-\sin a|}}$ 在区间 $[0,\pi ]$ 上的最大值为 $1$，求 $a$ 的范围.

求导得 $f^{\prime }(x)=-\sin x(x-a)$.

1. 当 $a=0$，有 $f^{\prime }(x)=-x\sin x$. 容易看出 $f(x)$ 在 $(2k\pi ,\pi +2k\pi ),(-\pi -2k\pi ,-2k\pi )$ 上减，在 $(\pi +2k\pi ,2\pi +2k\pi ),(-2\pi -2k\pi ,-\pi -2k\pi )$ 上增，其中 $k\in \mathbb{N}$.

2. 如果 $a\le 0$，则在 $[0,\pi ]$ 上 $f^{\prime }(x)\le 0\Rightarrow f(x)\le f(0)=0$. 而 $h(x)$ 的分母 $(x-a{)}^2+|a-\sin a|\ge 0$ (特别地当 $x=0,a=0$, $h(x)$ 无定义，需要舍去 $a=0$)，因此 $h(x)\le 0$，这与 $h(x)$ 有最大值 $1$ 矛盾，因此 $a>0$. 记 $h(x)=(x-a{)}^2+|a-\sin a|=(x-a{)}^2+a-\sin a$, 则 $g(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{h(x)},g^{\prime }(x)=\frac{-\sin x(x-a)h(x)-2(x-a)f(x)}{h^2(x)}}$. 下面进行讨论.

   • $a>\pi$，则 $f^{\prime }(x)\ge 0,f(x)\ge f(0)=0$. 这样直接观察得 $g^{\prime }(x)\ge 0$, 也即 $g(x{)}_{max}=g(1)=1$，整理得 $$\begin{array}{r}(\pi -a{)}^2+(\pi -a)-\sin (\pi -a)=0.\end{array}$$
     记 $u(x)=x^2+x-\sin x,x<0$，则 ${\displaystyle u^{\prime }(x)=2x+1-\cos x,u^{″}(x)=2+\sin x>0}$,从而 $u^{\prime }(x)<u(0)=0\Rightarrow u(x)>u(0)=0$，故上述方程无解.
   • $0<a\le \pi$, 此时 $x=a$ 是 $f(x)$ 的极大值点，$f(x)\le f(a)=a-\sin a$, 而显然 $h(x)\ge h(a)=a-\sin a$，故 $g(x)\le 1=g(a)$, 满足题意.

   综上，$a\in (0,\pi ]$.