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已知双曲线 $C$ 的虚轴长为 $2$，其中一条渐近线方程为 $y={\displaystyle \frac{1}{2}x}$, 且 $M,N$ 分别是双曲线的左、右顶点.

1. 求双曲线 $C$ 的方程;
2. 设过点 $G(4,0)$ 的动直线 $l$ 交双曲线 $C$ 右支于 $A,B$ 两点，若直线 $AM,BN$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$.
3. 试探究 $k_1$ 与 $k_2$ 的比值 ${\displaystyle \frac{k_1}{k_2}}$ 是否为定值. 若是定值，求出这个定值; 若不是定值，请说明理由;
4. 设 $\mathrm{\angle }ANG=\alpha ,\mathrm{\angle }BNG=\beta ,0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, 若 ${\displaystyle \tan \theta =\frac{1}{7},\alpha =\beta -\theta (0<\theta <\frac{\pi }{2})}$, 求 $\mathrm{\Delta }BGN$ 的面积.

1. 双曲线 $C$ 的方程是 ${\displaystyle \frac{x^2}{4}-y^2=1}$.
2. 1. 由于 $l$ 与 $C$ 在右支交于两点，故 $l$ 的斜率不会为零. 又 $l$ 恒过 $G(4,0)$，故设 $l:x=ty+4$. 与 $C$ 联立得 $$\begin{array}{}\text{(*)}& (t^2-4)y^2+8ty+12=0\end{array}$$
      设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$.由韦达定理得 $$\begin{array}{r}{y}_1{y}_2=\frac{12}{t^2-4},y_1+y_2=-\frac{8t}{t^2-4}\Rightarrow t{y}_1{y}_2=-\frac{3}{2}(y_1+y_2).\end{array}$$
      代入${\displaystyle k_1=\frac{y_1}{x_1+2},k_2=\frac{y_2}{x_2-2}}$,得$$\begin{array}{r}\frac{k_1}{k_2}=\frac{y_1}{y_2}\cdot \frac{x_2-2}{x_1+2}=\frac{y_1}{y_2}\cdot \frac{t{y}_2+2}{t{y}_1+6}=\frac{t{y}_1{y}_2+2y_1}{t{y}_1{y}_2+6y_2}=\frac{-{\displaystyle \frac{3}{2}}(y_1+y_2)+2y_1}{-{\displaystyle \frac{3}{2}}(y_1+y_2)+6y_2}=-\frac{1}{3}.\end{array}$$
      1. 由题意，$k_{BN}=-{\displaystyle \frac{y_2}{x_2-2},k_{AN}=\frac{y_1}{x_1-2}}$.由于 $k_{AN},k_{BN}$ 异号，不妨设${\displaystyle \tan \beta =-\frac{y_2}{x_2-2},\tan \alpha =\frac{y_1}{x_1-2}}$ (最后求解出的 $|t|$ 是相同的.) 因此 $$\begin{array}{rl}\frac{1}{7}=\tan (\beta -\alpha )& =\frac{\tan \beta -\tan \alpha }{1+\tan \alpha \tan \beta }=-\frac{2t{y}_1{y}_2+2(y_1+y_2)}{(t^2-1)y_1{y}_2+2t(y_1+y_2)+4}=\frac{2t}{7},\end{array}$$
         从而 ${\displaystyle t=\frac{1}{2}}$.此时 $k_{AB}>0$,为使 $\beta =\alpha +\theta >\alpha$,则 $y_B<0<y_A$,因此将 $t$ 回代入 $(\ast )$ 解得 $y_B={\displaystyle -\frac{4}{3}}$.从而 ${\displaystyle S_{\mathrm{\Delta }BGN}=\frac{4}{3}}$.