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已知椭圆 $E:{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)}$ 过点 $A(3,0)$, 焦距为 $2\sqrt{5}$.

1. 求椭圆 $E$ 的方程, 并求其短轴长;
2. 过点 $P(1,0)$ 且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于两点 $C,D$, 连 $CO$ 并延长交椭圆 $E$ 于点 $M$, 直线 $AM$ 与 $l$ 交于点 $N$, $Q$ 为 $OD$ 的中点，其中 $O$ 为原点. 设直线 $NQ$ 的斜率为 $k$, 求 $k$ 的最大值.

1. 由题意得 $a=3,c=\sqrt{5}$, 故 $b=2,E:{\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1}$, 短轴长为 $4$.
2. 设 $C(x_1,y_1),D(x_2,y_2)$.设 $l:x=ty+1$，与椭圆联立得$$\begin{array}{r}(4t^2+9)y^2+8ty-32=0\Rightarrow y_1+y_2=-\frac{8t}{4t^2+9}.\end{array}$$
   则 $M(-x_1,-y_1),l_{AM}:{\displaystyle y=\frac{y_1}{x_1+3}(x-3)}$, 与 $l$ 联立解得 $N{\displaystyle (-\frac{t{y}_1}{2}+1,-\frac{y_1}{2})}$.又 $Q{\displaystyle (\frac{1}{2}{x}_2,\frac{1}{2}{y}_2)=(\frac{t{y}_2+1}{2},\frac{y_2}{2})}$,故 $$\begin{array}{r}k=\frac{\frac{y_2}{2}+\frac{y_1}{2}}{\frac{t{y}_2+1}{2}+\frac{t{y}_1}{2}-1}=\frac{y_1+y_2}{t(y_1+t_2)-1}=\frac{8t}{12t^2+9}\le \frac{8|t|}{12|t{|}^2+9}\le \frac{2\sqrt{3}}{9}.\end{array}$$