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若 $\sin \frac{π}{10}$ 是函数 $f (x) = a x^{3} - b x + 1 (a, b \in N^{*})$ 的一个零点，求 $f (1)$ .

解钱莘芪

记 $t = \sin \frac{π}{10}$ .注意到 $\begin{array}{r} \sin \frac{2 π}{10} = \cos \frac{3 π}{10} \Rightarrow 2 \sin \frac{π}{10} \cos \frac{π}{10} = 4 \cos \frac{π}{10} (1 - \sin^{2} \frac{π}{10}) - 3 \cos \frac{π}{10}, \end{array}$
(使用了三倍角公式.) 整理得 $\begin{array}{r} 4 t^{2} + 2 t - 1 = 0, \end{array}$
待定系数 $k \in N^{*}$ : $\begin{array}{r} (k t - 1) (4 t^{2} + 2 t - 1) = 4 k t^{3} + (2 k - 4) t^{2} - (k + 2) t + 1 = a t^{3} - b t + 1 = 0, \end{array}$
因此比对二次项系数可知 $k = 2, f (x) = 8 x^{3} - 4 x + 1 \Rightarrow f (1) = 5.$

还需要说明一下 $f (x)$ 的表达式是唯一的.如果 $f (x) = a^{'} x^{3} - b^{'} x + 1$ ,则由 $f (t) = 0$ 作差得 $\begin{array}{r} (a - a^{'}) t^{2} = b - b^{'}, \end{array}$
但是 $t^{2}$ 是一个无理数(可以解出 $t = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ )，因此只能 $a = a^{'}, b = b^{'}$ .综上 $f (1) = 5$ .