897

已知函数 $f(x)=|x^2+a|+2|x|$, 当 $x\in [-2,2]$ 时，记函数 $f(x)$ 的最大值为 $M(a)$, 求 $M(a)$ 的最小值.

只需考虑 $x\in [0,2]$.由题意，$$\begin{array}{r}M(a)\ge f(1)=|1+a|+2,M(a)\ge f(2)=|4+a|+4,\end{array}$$
故$$\begin{array}{r}M(a)\ge 3+\frac{1}{2}(|1+a|+|4+a|)\ge 3+\frac{1}{2}|(1+a)-(4+a)|=\frac{9}{2}.\end{array}$$
另一方面，取 $a={\displaystyle -\frac{7}{2}}$, $f(x)={\displaystyle \{\begin{array}{rl}& x^2+2x-\frac{7}{2},x\ge \sqrt{\frac{7}{2}},\\ & -x^2+2x+\frac{7}{2},x<\sqrt{\frac{7}{2}},\end{array}}$ 容易验证确实可以取到最大值 ${\displaystyle \frac{9}{2}}$. 综上， $M(a{)}_{min}={\displaystyle \frac{9}{2}}$.