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已知 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 成公比为 $2$ 的等比数列，且 $\alpha \in (0,\pi )$. 若 $\cos \alpha ,\sqrt{3}\cos \beta ,\sin \gamma$ 成等比数列，求所有满足条件的 $\alpha$ 的和.

第一个条件等价于 $\beta =2\alpha ,\gamma =2\beta =4\alpha$.则第二个条件等价于$$\begin{array}{r}3{\cos }^{2}2\alpha =\cos \alpha \sin 4\alpha =2\sin 2\alpha \cos 2\alpha \cos \alpha .\end{array}$$

• $\cos 2\alpha =0$，这会被舍去，因为等比数列中不能含有0的项.
• 否则$\cos 2\alpha \ne 0$，因此$$\begin{array}{rl}& 3\cos 2\alpha =4\sin \alpha {\cos }^2\alpha \\ ⟺& 3-6{\sin }^2\alpha =4\sin \alpha (1-{\sin }^2\alpha )\\ ⟺& 4x^3-6x^2-4x-3=(2x-1)(2x^2-2x-3)=0,\end{array}$$
  其中$x=\sin \alpha \in (0,1)$，因此解得$x={\displaystyle \frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{6}\text{或}\frac{5\pi }{6}}$.