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已知函数 $f(x)=x^a-{\log }_{b}x$ ($a>0,b>0$ 且 $b\ne 1$), 若 $f(x)\ge 1$ 恒成立，则 $ab$ 的最小值为_____.

注意到 $f(1)=1$.要使 $f(x)\ge 1$ 恒成立，则 $$f_{-}^{\prime }(1)\le 0\le f_{+}^{\prime }(1)\Rightarrow {\displaystyle f^{\prime }(1)=a-\frac{1}{\ln b}=0.}$$这样 $$\begin{array}{r}ab=\frac{b}{\ln b}\ge \frac{b}{b/\mathrm{e}}=\mathrm{e},\end{array}$$
取等当且仅当$b=\mathrm{e},a=1$.