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设 $\mathrm{\Delta }ABC$ 是面积为 $1$ 的等腰直角三角形，$D$ 是斜边 $AB$ 的中点，点 $P$ 在 $\mathrm{\Delta }ABC$ 所在的平面内，记 $\mathrm{\Delta }PCD$ 与 $\mathrm{\Delta }PAB$ 的面积分别为 $S_1,S_2$, 且 $S_1-S_2=1$. 当 $|PB|=\sqrt{10}$, 且 $|PA|>|PB|$ 时，$|PA|=$ _____; 记 $||PA|-|PB||=a$，则实数 $a$ 的取值范围为_____.

1. 如图，以 $D$ 为原点建系，则 $A(-1,0),C(0,1),B(1,0)$. 设 $P(x_0,y_0)$，则 $S_1-S_2={\displaystyle \frac{1}{2}|x_0|-\frac{1}{2}(2|y_0|)=1\Rightarrow |y_0|=\frac{1}{2}|x_0|-1}$. 当 $PA>PB,PB=\sqrt{10}$, 可以观察出 $P(4,\pm 1)\Rightarrow PA=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$.

2. 当 $|PA-PB|=a=2$，则 $P(\pm 2,0)$，此时 $P,A,B$ 三点共线不构成三角形，这与题目给出的 $\mathrm{\Delta }PAB$ 的记号矛盾，应当舍去.

   否则 $P$ 在以 $A,B$ 为焦点的双曲线 ${\displaystyle \frac{x^2}{(a/2{)}^2}-\frac{y^2}{1-(a/2{)}^2}=1}$ 上，渐近线为 $y=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{1-(a/2{)}^2}}{a/2}x}$.如右图，要使该双曲线与 $P$ 的轨迹有交点，则$$\begin{array}{r}0<\frac{\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2}}{{\displaystyle \frac{a}{2}}}<\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{4\sqrt{5}}{5}<a<2.\end{array}$$