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已知 ${\displaystyle A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)}$ 是圆 ${\displaystyle x^2+y^2=2}$ 上两点. 若 ${\displaystyle x_1{x}_2+y_1{y}_2=-1}$, 求 ${\displaystyle x_1+x_2+y_1+y_2}$ 的取值范围.

记 ${\displaystyle C(x_3,y_3)}$ 是 ${\displaystyle AB}$ 中点，则$$\begin{array}{r}OC=\sqrt{{\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)}^2+{\left(\frac{y_1+y_2}{2}\right)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2+2(x_1{x}_2+y_1{y}_2)}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$
这说明 ${\displaystyle C}$ 在圆 ${\displaystyle x^2+y^2={\displaystyle \frac{1}{2}}}$ 上, 从而由几何图形容易看出 ${\displaystyle x_C+y_C\in [-1,1]}$，故 ${\displaystyle \text{原式}=2(x_C+y_C)\in [-2,2]}$.