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已知函数 ${\displaystyle f(x)=a\sin x+\sin ax(a>0)}$.

1. 当 ${\displaystyle a=1,x>0}$ 时，证明 ${\displaystyle f(x)<2x}$;
2. 当 ${\displaystyle a=2}$ 时，讨论 ${\displaystyle f(x)}$ 的单调性;
3. 设 ${\displaystyle x>0}$, 证明: ${\displaystyle {\mathrm{e}}^{ax}+(2-\mathrm{e})ax>f(x)}$.

1. 证明 此时 ${\displaystyle f(x)=2\sin x}$, 故 ${\displaystyle x>0}$ 时 ${\displaystyle (f(x)-2x{)}^{\prime }=2\cos x-2\le 0}$, 从而 ${\displaystyle f(x)-2x<f(0)-0=0}$.
2. 解 此时 ${\displaystyle f(x)=2\sin x+\sin 2x}$, ${\displaystyle f^{\prime }(x)=2(2\cos x-1)(\cos x+1)}$. 容易知道，当 ${\displaystyle {\displaystyle x\in (-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\frac{\pi }{3}+2k\pi )(k\in \mathbb{Z})}}$ 时，${\displaystyle f^{\prime }(x)>0}$, ${\displaystyle f(x)}$ 单增; 当 ${\displaystyle {\displaystyle x\in (\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\frac{5\pi }{3}+2k\pi )(k\in \mathbb{Z})}}$ 时，${\displaystyle f^{\prime }(x)<0}$, ${\displaystyle f(x)}$ 单减.
3. 证明 在 1 中我们证明了 ${\displaystyle \mathrm{\forall }x>0:\sin x<x}$. 这样 $$\begin{array}{rl}& {\mathrm{e}}^{ax}+(2-\mathrm{e})ax\ge \mathrm{e}(ax)+(2-\mathrm{e})ax\\ =& 2ax>a\sin x+\sin ax=f(x).\end{array}$$