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现有一种不断分裂的细胞 ${\displaystyle X}$, 每个时间周期 ${\displaystyle T}$ 内分裂一次，一个 ${\displaystyle X}$ 细胞每次分裂能生成一个或两个新的 ${\displaystyle X}$ 细胞，每次分裂后原 ${\displaystyle X}$ 细胞消失. 设每次分裂成一个新 ${\displaystyle X}$ 细胞的概率为 ${\displaystyle p}$, 分裂成两个新 ${\displaystyle X}$ 细胞的概率为 ${\displaystyle 1-p}$; 新细胞在下一个周期 ${\displaystyle T}$ 内可以继续分裂，每个细胞间相互独立. 设有一个初始的 ${\displaystyle X}$ 细胞，在第一个周期 ${\displaystyle T}$ 中开始分裂，其中 ${\displaystyle p\in {\displaystyle (\frac{1}{2},1)}}$.

1. 设 ${\displaystyle 2T}$ 结束后，${\displaystyle X}$ 细胞的数量为 ${\displaystyle \xi }$, 求 ${\displaystyle \xi }$ 的分布列和数学期望;
2. 设 ${\displaystyle nT(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })}$ 结束后，${\displaystyle X}$ 细胞数量为 ${\displaystyle m}$ 的概率为 ${\displaystyle P_m(n)}$.
   1. 求 ${\displaystyle P_2(n)}$;
   2. 证明: ${\displaystyle P_3(n)<{\displaystyle \frac{8}{27p^2}}}$.

1. 解 ${\displaystyle \xi }$ 的取值有 ${\displaystyle 1,2,3,4}$. 简单讨论易得 ${\displaystyle P(\xi =1)=p^2,P(\xi =4)=(1-p{)}^3,P(\xi =2)=(1-p)p^2+p(1-p)=p-p^3}$，进而 ${\displaystyle P(\xi =3)=1-p^2-(1-p{)}^3-(p-p^3)=2p(1-p{)}^2}$. 因此 ${\displaystyle \xi }$ 的分布列如下表:

   | ${\displaystyle \xi }$ | ${\displaystyle 1}$ | ${\displaystyle 2}$ | ${\displaystyle 3}$ | ${\displaystyle 4}$ |
   |--|--|--|--|--|
   | ${\displaystyle P}$ | ${\displaystyle p^2}$ | ${\displaystyle p-p^2}$ | ${\displaystyle 2p(1-p{)}^2}$ | ${\displaystyle (1-p{)}^2}$ |

   因此 ${\displaystyle E(\xi )=6p^3-9p^2+4}$.

2. 1. 解 如果 ${\displaystyle (n-1)T}$ 后有 ${\displaystyle 1}$ 个细胞，则它必分裂为 ${\displaystyle 2}$ 个使得 ${\displaystyle nT}$ 后有 ${\displaystyle 2}$ 个细胞;如果 ${\displaystyle (n-1)T}$ 后有 ${\displaystyle 2}$ 个细胞，它们必各自分裂为 ${\displaystyle 1}$ 个.因此$$\begin{array}{rl}& P_2(n)=(1-p)P_1(n-1)+p^2{P}_2(n-1)\\ \Rightarrow & P_2(n)-p^{n-1}=p^2(P_2(n-1)-p^{n-2})=\cdots =p^{2(n-1)}(p_2(1)-1),\end{array}$$
      又 ${\displaystyle P_2(1)=1-p}$，故 ${\displaystyle P_2(n)=p^{n-1}-p^{2n-1}}$.

   2. 证明 类似 2.1，写出递推式 $$\begin{array}{rl}{P}_3(n)& =p^3{P}_3(n-1)+2p(1-p)P_2(n-1)\\ & =p^3{P}_3(n-1)+2p^n(1-p)(1-p^n)<p^3{P}_3(n-1)+\frac{1}{2}(1-p).\end{array}$$

      一方面 $$\begin{array}{rl}{P}_3(2)& =0+2p(1-p)P_2(1)=2p(1-p)(1-p)\\ & \le {\left(\frac{2p+1-p+1-p}{3}\right)}^3=\frac{8}{27}<\frac{8}{27p^2},\end{array}$$
      另一方面假设 ${\displaystyle P_3(n-1)<{\displaystyle \frac{8}{27p^2}}}$，有$$\begin{array}{r}{P}_3(n)-\frac{8}{27p^2}<\frac{8p}{27}+\frac{1}{2}(1-p)-\frac{8}{27p^2}=\frac{1-p}{54p^2}(11p^2-16p-16)<0,\end{array}$$
      因此根据归纳原理 ${\displaystyle P_3(n)<{\displaystyle \frac{8}{27p^2}}}$ 得证!