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已知集合 ${\displaystyle S=\{(x,y)|(x^2+y^2{)}^3=16x^2{y}^2\},T=\{(x,y)|x^2+y^2\le r^2\}(r>0),M=\{(x,y)||x|\le m,|y|\le m\}(m>0)}$.

1. 若 ${\displaystyle S\subset T}$, 则 ${\displaystyle r}$ 的最小值为_____;
2. 若 ${\displaystyle S\subset M}$, 则 ${\displaystyle m}$ 的最小值为_____.

1. 任取 ${\displaystyle (x,y)\in S}$, 则$$\begin{array}{r}(x^2+y^2{)}^3=16x^2{y}^2\le 4(x^2+y^2{)}^2\Rightarrow x^2+y^2\le 4,\end{array}$$
   故 ${\displaystyle r}$ 的最小值是 ${\displaystyle 2}$.
2. 任取 ${\displaystyle (m,n)\in S}$, 记 ${\displaystyle m^2=x,n^2=y}$, 则 $$(x+y{)}^3-16xy=0.$$ 要求 ${\displaystyle |y|}$ 的最值. 隐函数定理指出这个方程能在某个局部表示为 ${\displaystyle y=y(x)}$，然后我们直接在这个方程两侧关于 ${\displaystyle x}$ 求导：$$\begin{array}{r}3(x+y{)}^2(1+y^{\prime })-32(y+x{y}^{\prime })=0.\end{array}$$
   再令${\displaystyle y^{\prime }=0}$:$$\begin{array}{r}3(x+y{)}^2-32y=0,\end{array}$$
   与前面的方程联立解得非零解 ${\displaystyle (x_0,y_0)={\displaystyle (\frac{32}{27},\frac{64}{27})}}$ (因为 ${\displaystyle (0,0)}$ 显然不是我们要的情况). 事实上还要在 ${\displaystyle (x_0,y_0)}$ 处计算 ${\displaystyle y^{″}}$ 的正负性来确定该点是极大值点还是极小值点，但是本题因为只有一个解，故可以省略. 这样 ${\displaystyle m_{min}=\sqrt{y_0}={\displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{9}}}$.