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在正数数列 ${\displaystyle \{A_n\}}$ 中，若存在常数 ${\displaystyle k,t}$ 使得 ${\displaystyle \mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ 均有 ${\displaystyle (k{A}_{n+1}-A_n)(A_{n+1}{A}_n-t)=0}$ 成立，则称 ${\displaystyle \{A_n\}}$ 为"奇趣数列".

1. 若 ${\displaystyle \{a_n\}}$ 的前 ${\displaystyle 4}$ 项分别为 ${\displaystyle 1,2,3,4}$，判断 ${\displaystyle \{a_n\}}$ 是否是"奇趣数列".
2. 若 ${\displaystyle \{a_n\}}$ 是"奇趣数列"，且 ${\displaystyle k=2,t=1,a_1=a_{20}}$.
   1. 求证：${\displaystyle a_1\le 512}$.
   2. 当 ${\displaystyle a_1=2}$，求不同的有序数组 ${\displaystyle (a_1,\cdots ,a_{20})}$ 的个数.

1. 解 分析 ${\displaystyle \{a_n\}}$ 的前三项，知 ${\displaystyle (k,t)}$ 的取值只能是 ${\displaystyle {\displaystyle (\frac{1}{2},6),(\frac{2}{3},2)}}$，从而 ${\displaystyle a_4}$ 的所有可能取值为 ${\displaystyle 6,2,{\displaystyle \frac{9}{2},\frac{2}{3}}}$，不会为 ${\displaystyle 4}$，故 ${\displaystyle \{a_n\}}$ 不是"奇趣数列".
2. 记 ${\displaystyle b_n={\log }_2{a}_n}$, 则 ${\displaystyle (2a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}{a}_n-1)=0}$ 等价于 ${\displaystyle b_{n+1}=b_n-1}$ 或 ${\displaystyle b_{n+1}=-b_n}$. 记 ${\displaystyle b_{n+1}=b_n-1}$ 为一次K变换，${\displaystyle b_{n+1}=-b_n}$ 为一次T变换. 要使 ${\displaystyle a_1=a_{20}}$ 也即 ${\displaystyle b_1=b_{20}}$, 则T变换一定会发生. 设T变换发生了 ${\displaystyle i-1}$ 次(因此 ${\displaystyle i\ge 2}$)，它们将 ${\displaystyle b_1}$ 至 ${\displaystyle b_{20}}$ 间的K变换分成了 ${\displaystyle i}$ 段，设第 ${\displaystyle i}$ 段发生了连续的 ${\displaystyle p_i}$ 次K变换(${\displaystyle p_i\in \mathbb{N}}$)，则自然有$$\begin{array}{}\text{(*)}& p_1+\cdots +p_i+i-1=19.\end{array}$$
   由于K变换改变了 ${\displaystyle b_i}$ 的奇偶性而T变换没有，因此K变换发生了偶数次，也即 ${\displaystyle i}$ 是偶数. 从而 $$\begin{array}{rl}{b}_{20}=(-1{)}^{i-1}[b_1-p_1+p_2-& \cdots +(-1{)}^i{p}_i]=-b_1+p_1-p_2+\cdots -p_i=b_1.\\ \text{(**)}& \Rightarrow & 2b_1=p_1-p_2+\cdots -p_i\end{array}$$
   1. 证明 由上述分析，$$\begin{array}{r}2b_1=p_1-p_2+\cdots -p_i\le p_1+\cdots +p_i=20-i\le 18\Rightarrow b_1\le 9,\end{array}$$
      等号成立当且仅当 ${\displaystyle \{b_n\}}$ 的前 ${\displaystyle 20}$ 项分别为 ${\displaystyle 9,8,7,\cdots ,1,0,-1,-2,\cdots ,-9,9}$. 故 ${\displaystyle a_1=2^{b_1}\le 512}$.
   2. 解 由于 ${\displaystyle i}$ 是偶数，则 ${\displaystyle 2\le i\le 18}$，设 ${\displaystyle i=2s,1\le s\le 9}$，则根据*式得 $$\begin{array}{r}20=p_1+\cdots +p_i+i=(p_1+1)+\cdots +(p_i+1).\end{array}$$
      又 ${\displaystyle b_1={\log }_2{a}_1=1}$，由**式得$$\begin{array}{rl}{p}_1+p_3+\cdots p_{2s-1}& =2+p_2+p_4+\cdots +p_{2s}\\ \Rightarrow (p_1+1)+(p_3+1)+\cdots (p_{2s-1}+1)& =2+(p_2+1)+(p_4+1)+\cdots +(p_{2s}+1),\end{array}$$
      解得 $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{rl}& (p_1+1)+(p_3+1)+\cdots +(p_{2s-1}+1)=11,\\ & (p_2+1)+(p_4+1)+\cdots +(p_{2s}+1)=9,\end{array}\end{array}$$
      其中 ${\displaystyle p_i+1\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$. 根据隔板法很容易得到这个方程组的解 ${\displaystyle (p_1,\cdots ,p_{2s})}$ 的个数为 ${\displaystyle C_{10}^{s-1}{C}_8^{s-1}}$，这样所有的 ${\displaystyle (b_1,\cdots ,b_{20})}$ 的个数为 $$\sum _{s=1}^9{C}_{10}^{s-1}{C}_8^{s-1}=\sum _{s=0}^8{C}_{10}^s{C}_8^s=\sum _{s=0}^8{C}_{10}^s{C}_8^{8-s}.$$
      在等式 ${\displaystyle (1+x{)}^{10}(1+x{)}^8=(1+x{)}^{18}}$ 中，比对 ${\displaystyle x^8}$ 的系数可得 ${\displaystyle {\displaystyle \sum _{s=0}^8{C}_{10}^s{C}_8^{8-s}=C_{18}^8=43758}}$，即 ${\displaystyle (a_1,\cdots ,a_{20})}$ 的个数为 ${\displaystyle 43758}$.