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已知 ${\displaystyle f(x)=3\ln x-k(x-1)}$.

1. 若过点 ${\displaystyle (2,2)}$ 作曲线 ${\displaystyle y=f(x)}$ 的切线，切线的斜率为 ${\displaystyle 2}$, 求 ${\displaystyle k}$ 的值;
2. 当 ${\displaystyle x\in [1,3]}$ 时，讨论函数 ${\displaystyle g(x)={\displaystyle f(x)-\frac{2}{\pi }\cos \frac{\pi }{2}x}}$ 的零点个数.

1. 设题述的切线与 ${\displaystyle y=f(x)}$ 切于 ${\displaystyle (x_0,y_0)}$，则切线方程为$$\begin{array}{r}y-(3\ln x_0-k(x_0-1))=(\frac{3}{x_0}-k)(x-x_0)\end{array}$$
   由题意，它过${\displaystyle (2,2)}$且斜率是${\displaystyle 2}$，即$$\begin{array}{r}\frac{3}{x_0}-k=2,2-(3\ln x_0-k(x_0-1))=2(2-x_0).\end{array}$$
   由${\displaystyle k={\displaystyle \frac{3}{x_0}-2}}$消去${\displaystyle k}$得$$\begin{array}{r}\frac{1}{x_0}-1=\ln \frac{1}{x_0}\le \frac{1}{x_0}-1(\text{“=”}⟺x_0=1),\end{array}$$
   从而${\displaystyle x_0=1,k=1}$.

2. 注意到 ${\displaystyle g(1)=0}$.
   当 ${\displaystyle x\in [1,3]}$, ${\displaystyle g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{3}{x}-k+\sin \frac{\pi }{2}x,g^{″}(x)=-\frac{3}{x^2}+\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2}x\le 0}}$, 故 ${\displaystyle g^{\prime }(x)}$ 在 ${\displaystyle [1,3]}$ 上单减.

   • 若 ${\displaystyle k\ge 4}$, 则 ${\displaystyle g^{\prime }(x)<3-4+1=0}$, ${\displaystyle g(x)}$ 在 ${\displaystyle [1,3]}$ 上单减，只有 ${\displaystyle 1}$ 一个零点.
   • 若 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{3\ln 3}{2}\le k<4}}$, 则 ${\displaystyle g^{\prime }(1)=4-k>0,g^{\prime }(3)=-k<0}$，由于 ${\displaystyle g^{\prime }(x)}$ 在 ${\displaystyle [1,3]}$ 上单减，故 ${\displaystyle g^{\prime }(x)}$ 在 ${\displaystyle [1,3]}$ 上存在一个零点 ${\displaystyle x_0}$, 则 ${\displaystyle g(x)}$ 在 ${\displaystyle (1,x_0)}$ 上单增然后在 ${\displaystyle (x_0,3)}$ 上单减. 而 ${\displaystyle g(1)=0,g(x_0)>g(1)=0,g(3)=3\ln 3-2k\le 0}$，故 ${\displaystyle g(x)}$ 有两个零点.
   • 若 ${\displaystyle k<{\displaystyle \frac{3\ln 3}{2}}}$, ${\displaystyle g^{\prime }(1)=4-k>0}$. 由 ${\displaystyle g^{\prime }(x)}$ 单减，知 ${\displaystyle g^{\prime }(x)}$ 至多存在一个零点，进而或者 ${\displaystyle g(x)}$ 单增，或者在某个 ${\displaystyle (1,x_1)}$ 上单增，在 ${\displaystyle (x_1,3)}$ 上单减. 由于此时 ${\displaystyle g(3)>0}$, 任一情况下 ${\displaystyle g(x)}$ 的零点都只有 ${\displaystyle x=1}$.

   综上，${\displaystyle k\in {\displaystyle [\frac{3\ln 3}{2},4)}}$ 时 ${\displaystyle g(x)}$ 在 ${\displaystyle [1,3]}$ 上有 ${\displaystyle 2}$ 个零点，${\displaystyle k\in {\displaystyle (-\mathrm{\infty },\frac{3\ln 3}{2}]\cup [4,+\mathrm{\infty })}}$ 时有 ${\displaystyle 1}$ 个零点.