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在以 ${\displaystyle SH}$ 为高的三棱锥 ${\displaystyle S-ABC}$ 中, ${\displaystyle SA=BC=\sqrt{61}}$, ${\displaystyle AB=3}$, ${\displaystyle D}$ 为 ${\displaystyle SB}$ 的中点, 直线 ${\displaystyle AD}$ 与 ${\displaystyle SH}$ 共面.

1. 证明: ${\displaystyle H,A,B}$ 三点共线;
2. 若 ${\displaystyle AH=AD=AC}$, 已知平面 ${\displaystyle ABC}$ 内的动点 ${\displaystyle P}$ 满足 ${\displaystyle PD-PH=2}$.
   1. 证明: ${\displaystyle P}$ 的轨迹为椭圆, 并求其离心率;
   2. 记直线 ${\displaystyle SP}$ 与底面 ${\displaystyle ABC}$ 所成角为 ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \mathrm{\angle }PHB=\theta }$, 证明: ${\displaystyle \tan \alpha -2\cos \theta =4}$.
      

1. 由 ${\displaystyle AD,SH}$ 共面, 得 ${\displaystyle SH\subset }$ 平面 ${\displaystyle SAD}$. 又因为 ${\displaystyle H\in }$ 平面 ${\displaystyle ABC}$, 所以 ${\displaystyle H\in }$ 平面 ${\displaystyle SAD\cap }$ 平面 ${\displaystyle ABC=AB}$, 所以 ${\displaystyle H,A,B}$ 三点共线.
2. 1. 设 ${\displaystyle HB=t}$. 一方面根据中线长公式 $$A{D}^2=\frac{1}{2}A{S}^2+\frac{1}{2}A{B}^2-\frac{1}{4}S{B}^2\Rightarrow (t+3{)}^2=35-\frac{1}{4}S{B}^2,$$ (这里用到了 ${\displaystyle AD=AH=t+3}$) 另一方面根据勾股定理 $$S{H}^2=S{A}^2-A{B}^2=S{B}^2-B{H}^2\Rightarrow 61-(t+3{)}^2=S{B}^2-t^2,$$ 消去 ${\displaystyle S{B}^2}$ 得 ${\displaystyle 4t^2+18t-52=0}$, 解得 ${\displaystyle t=2}$ 或 ${\displaystyle -\frac{13}{2}}$ (舍去).
      这样我们以 ${\displaystyle H}$ 为原点建系, 得到 ${\displaystyle S(0,0,6)}$, ${\displaystyle B(0,2,0)}$, ${\displaystyle D(0,1,3)}$. 设 ${\displaystyle P(x,y,0)}$. 则由 ${\displaystyle PD-PH=2}$ 得 $$\sqrt{x^2+(y-1{)}^2+9}-\sqrt{x^2+y^2}=2\Rightarrow \frac{x^2}{3}+\frac{(y+1{)}^2}{4}=1,$$ 所以 ${\displaystyle P}$ 的轨迹为椭圆, 离心率为 ${\displaystyle e=\frac{\sqrt{4-3}}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}}$.
   2. 设 ${\displaystyle P(x_0,y_0,0)}$. 画出 ${\displaystyle xOy}$ 的示意图. 根据椭圆的焦半径公式 ${\displaystyle PH=2-\frac{1}{2}(y_0+1)=\frac{1}{2}(3-y_0)}$, 所以 ${\displaystyle \cos \theta =\frac{y_0}{PH}}$. 而 ${\displaystyle SH\perp }$ 平面 ${\displaystyle ABC}$, 所以 ${\displaystyle \tan \alpha =\frac{SH}{PH}=\frac{6}{PH}}$. 于是 $$\tan \alpha -2\cos \theta =\frac{6-2y_0}{PH}=\frac{6-2y_0}{\frac{1}{2}(3-y_0)}=4.$$