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已知点 ${\displaystyle M,N}$ 分别在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 的边 ${\displaystyle AB,AC}$ 所在直线上, ${\displaystyle \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}}$, ${\displaystyle \overrightarrow{AN}=y\overrightarrow{AC}}$, ${\displaystyle D}$ 为线段 ${\displaystyle BC}$ 的中点, ${\displaystyle G}$ 为 ${\displaystyle MN}$ 与 ${\displaystyle AD}$ 的交点. 若 ${\displaystyle \overrightarrow{AG}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AD}}$, 则 ${\displaystyle \frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}}$ 的最小值为_____.

根据 ${\displaystyle D}$ 是中点的条件, $$\overrightarrow{AG}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AD}=\frac{3}{10}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{3}{10x}\overrightarrow{AM}+\frac{3}{10y}\overrightarrow{AN}.$$ 又因为 ${\displaystyle G,M,N}$ 共线, 所以 ${\displaystyle \frac{3}{10x}+\frac{3}{10y}=1}$. 这样根据柯西不等式 $$(\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2})(1+\frac{1}{4})\ge {(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})}^2={\left(\frac{10}{3}\right)}^2,$$ 解得 ${\displaystyle \frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}}$ 的最小值为 ${\displaystyle \frac{80}{9}}$.