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下列曲线上, 不存在四个点能构成正方形的是

• A. ${\displaystyle |x|+|y|=2}$
• B. ${\displaystyle (x-1)(y-1)=1}$
• C. ${\displaystyle y=\{\begin{array}{rl}& 3-x^2,x>0,\\ & x^2-3,x<0\end{array}}$
• D. ${\displaystyle y=x-\frac{1}{x}}$

• A 显然是可以的, 取 ${\displaystyle (0,\pm 2)}$, ${\displaystyle (\pm 2,0)}$ 即可.
• B 等价于 ${\displaystyle xy=1}$ 上是否存在四个点构成正方形. 这是一个双曲线, 不可能正方形的三个顶点都在一支上 (否则形成的图形是凹四边形). 不妨设两个顶点为 ${\displaystyle A(a,\frac{1}{a})}$, ${\displaystyle B(b,\frac{1}{b})}$, ${\displaystyle (b>a>0)}$, 则将 ${\displaystyle \overrightarrow{BA}}$ 沿 ${\displaystyle B}$ 点逆时针旋转 ${\displaystyle {90}^{\circ }}$, 有 ${\displaystyle C(b+\frac{1}{b}-\frac{1}{a},\frac{1}{b}-b+a)}$ 也在 ${\displaystyle xy=1}$ 上. 这意味着 $$1=(b+\frac{1}{b}-\frac{1}{a})(\frac{1}{b}-b+a)\Rightarrow (a-b)(b+\frac{1}{a{b}^2}+\frac{1}{ab})=0,$$ 无解!
• C 整个图形是关于 ${\displaystyle O}$ 的中心对称图形. 我们只需要在一支找到 ${\displaystyle A,B}$ 两点, 使得 ${\displaystyle OA=OB}$, ${\displaystyle OA\perp OB}$ 即可. 如图, 设 ${\displaystyle OA\perp OB}$, ${\displaystyle OA-OB}$ 是关于夹角 ${\displaystyle \mathrm{\angle }AOy}$ 的函数 ${\displaystyle f(\cdot )}$, 则 ${\displaystyle f(0)=3-\sqrt{3}>0}$, 而当 ${\displaystyle \mathrm{\angle }AOy\to {90}^{\circ }}$ 时 ${\displaystyle B}$ 会移至无穷远, 这样 ${\displaystyle \underset{\theta \to {{90}^{\circ }}^{-}}{lim}f(\theta )=-\mathrm{\infty }}$. 从而由零点存在性定理, ${\displaystyle f(\theta )}$ 存在零点, 使得 ${\displaystyle OA=OB}$ 成立. 所以 C 成立.
• D 方法与 C 相同. 设 ${\displaystyle OA\perp OB}$, ${\displaystyle OA-OB}$ 是关于 ${\displaystyle \mathrm{\angle }AOx}$ 的函数 ${\displaystyle g(\cdot )}$. 则 $$\underset{\theta \to {{90}^{\circ }}^{-}}{lim}g(\theta )=+\mathrm{\infty },\underset{\theta \to {{45}^{\circ }}^{+}}{lim}g(\theta )=-\mathrm{\infty },$$ 从而 ${\displaystyle g(\theta )}$ 也存在零点, D 成立.

综上, 答案是 B.