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如图, 已知双曲线 ${\displaystyle C:x^2-\frac{y^2}{3}=1}$ 的右焦点为 ${\displaystyle F}$, 原点为 ${\displaystyle O}$, 过点 ${\displaystyle F}$ 且不与坐标轴垂直的直线与双曲线 ${\displaystyle C}$ 交于点 ${\displaystyle A,B}$, 双曲线 ${\displaystyle C}$ 在点 ${\displaystyle A,B}$ 处的两条切线的交点为点 ${\displaystyle P}$. 设直线 ${\displaystyle AB}$ 与直线 ${\displaystyle OP}$ 的夹角为 ${\displaystyle \theta }$.

1. 求证: ${\displaystyle PF\perp AB}$;
2. 求 ${\displaystyle |AB|\tan \theta }$ 的最小值.
   

1. 证明 设 ${\displaystyle P(x_0,y_0)}$, 则 ${\displaystyle AB}$ 是 ${\displaystyle P}$ 所对的切点弦, 所以 ${\displaystyle l_{AB}:x{x}_0-\frac{y{y}_0}{3}=1}$. 它经过 ${\displaystyle F(2,0)}$, 代入得 ${\displaystyle x_0=\frac{1}{2}}$. 所以 $$k_{PF}\cdot k_{AB}=\frac{y_0}{x_0-2}\cdot \frac{3x_0}{y_0}=\frac{3x_0}{x_0-2}=-1,$$ 所以 ${\displaystyle PF\perp AB}$.
2. 解 简记 ${\displaystyle l_{AB}:x=ty+2}$. 则 ${\displaystyle k_{OP}=\frac{y_0}{x_0}=\frac{3}{\frac{3x_0}{y_0}}=\frac{3}{k_{AB}}=3t}$. 于是根据到角公式 $$\tan \theta =\left|\frac{k_{OP}-k_{AB}}{1+k_{OP}{k}_{AB}}\right|=\frac{1}{4}|3t-\frac{1}{t}|,$$ 而联立 ${\displaystyle l_{AB}}$ 与 ${\displaystyle C}$: ${\displaystyle (3t^2-1)y^2+12ty+9=0}$, 判别式为 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }=36(t^2+1)}$, 所以 $$|AB|=\sqrt{1+t^2}|y_A-y_B|=\sqrt{1+t^2}\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{|3t^2-1|}=\frac{6(1+t^2)}{|3t^2-1|},$$ 这样 $$|AB|\tan \theta =\frac{3(1+t^2)}{2|t|}\ge 3,$$ 等号成立当且仅当 ${\displaystyle |t|=1}$.