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已知 ${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{rl}& 8x^2+3x-1,x<\frac{1}{4},\\ & x+\frac{7}{8},x\ge \frac{1}{4}.\end{array}}$ 若等差数列 ${\displaystyle \{a_n\}}$ 为无穷数列, 且均满足递推关系 ${\displaystyle a_{n+1}=f(a_n)}$, 则该数列首项 ${\displaystyle a_1}$ 的取值范围为_____.

• 如果 ${\displaystyle a_1\ge \frac{1}{4}}$, 则 ${\displaystyle a_2=a_1+\frac{7}{8}}$, 容易得到 ${\displaystyle \{a_n\}}$ 始终是 ${\displaystyle \frac{7}{8}}$ 为公差的等差数列.
• 如果始终有 ${\displaystyle a_n<\frac{1}{4}}$, 设 ${\displaystyle a_n=a+nd}$, 则 $$a+(n+1)d=f(a_n)=8(a+nd{)}^2+3(a+nd)-1,$$ 对比 ${\displaystyle n^2}$ 系数有 ${\displaystyle d=0}$, 回代得 ${\displaystyle a=\frac{1}{4}}$ 或 ${\displaystyle a=-\frac{1}{2}}$, 也即新增了 ${\displaystyle a_1=-\frac{1}{2}}$ 这一情形.
• 如果不是上面两种情况, 则 ${\displaystyle a_1<\frac{1}{4}}$. 但 ${\displaystyle \{a_n\}}$ 不能一直落在 ${\displaystyle (-\mathrm{\infty },\frac{1}{4})}$, 且一旦来到 ${\displaystyle [\frac{1}{4},+\mathrm{\infty })}$, 将始终留在这里, 形成 ${\displaystyle \frac{7}{8}}$ 为公差的等差数列. 从而 $$a_2=a_1+\frac{7}{8}=f(a_1)=8a_1^2+3a_1-1,$$ 解得 ${\displaystyle a_1=-\frac{5}{8}}$ 或 ${\displaystyle \frac{3}{8}}$, 也即新增了 ${\displaystyle a_1=-\frac{5}{8}}$ 这一情形.

综上, ${\displaystyle a_1\in \{-\frac{5}{8},-\frac{1}{2}\}\cup [\frac{1}{4},+\mathrm{\infty })}$.