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在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 中, 已知 ${\displaystyle \sin B=2\sin C}$, ${\displaystyle A=\frac{\pi }{3}}$, ${\displaystyle AB=1}$. 点 ${\displaystyle P,Q,R}$ 分别在边 ${\displaystyle AB,BC,CA}$ 上, 且 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }PQR}$ 是等边三角形. 则 ${\displaystyle PQ}$ 的最小值为_____.

首先拆掉 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 的包装. 容易猜出这就是含 ${\displaystyle {30}^{\circ }}$ 角的直角三角形, 可以对 ${\displaystyle A}$ 用余弦定理得到.
接下来建系. 令 ${\displaystyle B(0,0)}$, ${\displaystyle A(0,1)}$, ${\displaystyle C(\sqrt{3},0)}$. 设 ${\displaystyle P(0,y)}$, ${\displaystyle Q(x,0)}$, 则利用旋转矩阵 $$\overrightarrow{QR}=\left(\begin{array}{cc}\cos (-\frac{\pi }{3})& -\sin (-\frac{\pi }{3})\\ \sin (-\frac{\pi }{3})& \cos (-\frac{\pi }{3})\end{array}\right)\overrightarrow{QP}=\left(\begin{array}{c}\frac{-x+\sqrt{3}y}{2}\\ \frac{\sqrt{3}x+y}{2}\end{array}\right),$$ 从而 ${\displaystyle R(\frac{x+\sqrt{3}y}{2},\frac{\sqrt{3}x+y}{2})}$. 又 ${\displaystyle R}$ 在 ${\displaystyle l_{AC}:x+\sqrt{3}y=\sqrt{3}}$ 上, 所以 $$\frac{x+\sqrt{3}y}{2}+\sqrt{3}\frac{\sqrt{3}x+y}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow 2x+\sqrt{3}y=\sqrt{3}.$$ 这样根据柯西不等式 $$(x^2+y^2)(4+3)\ge (2x+\sqrt{3}y{)}^2=3,$$ 所以 $$PQ=\sqrt{x^2+y^2}\ge \frac{\sqrt{21}}{7}.$$