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已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, \frac{π}{2})$ , 且满足 $f (\frac{π}{6}) = e^{\frac{π}{6}}$ , $f^{'} (x) \geq (1 - \frac{1}{\tan x}) f (x)$ , 则 $f (\frac{π}{3})$ 的最小值为_____.

解

注意到对于函数 $F (x) = \frac{f (x) \sin x}{e^{x}}$ , $x \in (0, \frac{π}{2})$ , 有 $F^{'} (x) = \frac{\sin x}{e^{x}} [f^{'} (x) - f (x) (1 - \frac{1}{\tan x})] \geq 0,$ 从而 $F (\frac{π}{3}) \geq F (\frac{π}{6})$ , 整理得 $f (\frac{π}{3}) \geq \frac{\sqrt{3}}{3} e^{\frac{π}{3}}$ .

对于这种母函数的构造, 如果你的注意力不够集中, 可以尝试利用定积分. 对于 $f^{'} (x) = g (x) f (x)$ , 变形为 $\frac{f^{'} (x)}{f (x)} = g (x)$ . 左边就是 $\ln f (x)$ 的导数(因为这只是辅助你找到母函数, 所以 $f (x)$ 的正负性这些细节先不讨论), 从而 $\ln f (x) = \int g (x) d x .$ 也即要找一个函数, 它的导数正好是 $g (x)$ . 对于本题, $\int (1 - \frac{1}{\tan x}) d x = x - \int \frac{\cos x}{\sin x} d x = x - \int \frac{1}{\sin x} d (\sin x) = x - \ln (\sin x) .$
最后, 把 $\ln f (x) - \int g (x) d x$ 作为母函数 $F (x)$ , 反向求导一遍就得到 $F^{'} (x) = \frac{f^{'} (x) - f (x) g (x)}{f (x)} .$